 | 平均値の定理の状況図はイメージできますよね．
『y=f(x)のグラフに対して，x=a,b(a<b)の点を取って，(a,f(a)),(b,f(b))を通る直線lを引き，
a<c<bを満たすx=cに対して，(c,f(c))における接線がlに平行になるように引く』というやつです．
ここで，y=f(x)のグラフが[a,b]で連続，(a,b)で微分可能でなければならないことの説明ですが，
a<x<bの部分で，y=f(x)のグラフが連続でない(途切れている)や，微分可能でない(折れ曲がっている)ことが起こると，
平均値の定理の状況図に不具合が起こることはすぐに分かりますよね．
では，x=aでy=f(x)が連続でなかったり，連続であっても微分可能でないときに，状況図に不具合が生じるかどうか検証します．
言葉なので，いささか分かりにくいとは思いますが，頑張ってください．
・y=f(x)がx=aで連続でない ⇒ つまり，y=f(x)はx=aのときにグラフが途切れており，その途切れ方がx≦aの部分とa<xの部分でそれぞれ連続だとします．
(つまり，(a,f(a))の点は，y=f(x)のx<aの部分と連続になる．)
このとき，(a,f(a))と(b,f(b))は切り離された曲線上にあるため，平均値の定理の状況図は，うまく書けません．
よって，平均値の定理が成り立つためには，a≦xの部分で連続でないと困ります．
同様に，x≦bの部分でも連続でないと困るので，[a,b]でy=f(x)は連続である必要があります．
・y=f(x)がx=aで微分可能でない ⇒ つまり，y=f(x)はx=aで折れ曲がっているとします．
しかし，x=aでy=f(x)のグラフがつながっているので，平均値の定理の状況図に不具合はおきません．
従って，y=f(x)のグラフは，x=aで微分可能である必要はありません．つまり，a<xで微分可能であればよい．
同様に，x<bで微分可能であればよいので，(a,b)でy=f(x)は微分可能であればよいわけです．
わかりにくくて申し訳ないっす
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