数学ナビゲーター掲示板 [One Topic All View / Re[6]: 複素数二つ目 / Page: 0]

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■14316 / inTopicNo.1)

　複素数二つ目

□投稿者/ アドルフ一般人(2回)-(2006/07/04(Tue) 13:05:10)

[{(√3)+i}/2]^n +i^n=0を満たす正の整数nはどのような形の数で
あるか。

くわしく解き方を教えてもらいたいです。
難しいです。
聞きたいことは、
これの答えがn>0でn=6m-3(mは正の整数）となっているのですが
答えにいたるまでの計算式を教えてもらえないでしょうか？
おねがいします。

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■14372 / inTopicNo.2)

　Re[1]: 複素数二つ目

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□投稿者/ アドルフ一般人(3回)-(2006/07/06(Thu) 20:18:22)

どなたか教えていただけないでしょうか？
おねがいします。

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■14385 / inTopicNo.3)

　Re[1]: 複素数二つ目

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□投稿者/ miyup 大御所(393回)-(2006/07/06(Thu) 21:40:45)

■No14316に返信(アドルフさんの記事)
> [{(√3)+i}/2]^n +i^n=0を満たす正の整数nはどのような形の数で
> あるか。
>
> くわしく解き方を教えてもらいたいです。
> 難しいです。
> 聞きたいことは、
> これの答えがn>0でn=6m-3(mは正の整数）となっているのですが
> 答えにいたるまでの計算式を教えてもらえないでしょうか？
> おねがいします。

$2$\alpha=\frac{\sqrt{3}+i}{2},\,\beta=i$ とおくと、与式は $2$\alpha^n+\beta^n=0$ より $2$1+$\frac{\beta}{\alpha}$^n=0$ 、 $2$$\frac{\beta}{\alpha}$^n=-1$ …①

ここで、 $2$\frac{\beta}{\alpha}=\frac{\cos 90^{\circ}+i\sin 90^{\circ}}{\cos 30^{\circ}+i\sin 30^{\circ}}=\cos 60^{\circ}+i\sin 60^{\circ}$ より、①は

$2$\cos 60^{\circ}n+i\sin 60^{\circ}n=\cos 180^{\circ}+i\sin 180^{\circ}$

すなわち、 $2$60^{\circ}n=180^{\circ}+360^{\circ}\times m$ 　よって、 $2$n=3+6m$

nが正のときは m≧0。　m＞0 としたければ $2$n=-3+6m$ と変えればよい。

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■14550 / inTopicNo.4)

　Re[2]: 複素数二つ目

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□投稿者/ アドルフ一般人(8回)-(2006/07/11(Tue) 13:00:47)

ありがとうございました！

突然出てくる+360°*mはどういう意味なんでしょうか？

教科書では
cos(30°n)=cos(180°+90°n)
sin(30°n)=sin(180°+90°n)
以上より
180°+90°n=30°n+360°*m
となっています。
そしてn>0なので、n=6m-3 (m>0)
となっています。

どうして突然+360°*mがでてくるんでしょうか？
でてくるならどういう条件ででてくるんでしょうか？
出てきた場合、どちら側に付け加えればいいんでしょうか？

質問ばかりですみません。
おねがいします！

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■14553 / inTopicNo.5)

　Re[3]: 複素数二つ目

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□投稿者/ miyup 大御所(422回)-(2006/07/11(Tue) 14:06:39)

■No14550に返信(アドルフさんの記事)
> どうして突然+360°*mがでてくるんでしょうか？
> でてくるならどういう条件ででてくるんでしょうか？
角の範囲が0°～360°のとき、sinθ=1 の表す角はθ=90°だけですが

一般角の場合、sinθ=1 の表す角はθ=90°＋360°×ｍ　となります。
これは、単位円で言うと「ｍ周回ったあとの90°」は全て解であることを表します。

> 出てきた場合、どちら側に付け加えればいいんでしょうか？

どちらでもＯＫです。どちらか一方につければ十分です。

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■14662 / inTopicNo.6)

　Re[4]: 複素数二つ目

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□投稿者/ アドルフ一般人(12回)-(2006/07/14(Fri) 17:49:42)

ありがとうございましたー！

＞> 出てきた場合、どちら側に付け加えればいいんでしょうか？

どちらでもＯＫです。どちらか一方につければ十分です。

どちらでもいいということは
180°+90°n=30°n+360°*m
も
180°+90°n+360°*m=30°n
も答えが同じということですよね。
でも自分で計算すると
n=6m-3にならないんですよね。。

上の式で計算すると
両辺を30でわって
60°+30°n=n+120°m
30°n-n=-60°+120°m
となってこれ以上計算できないんですが
どうやって計算すればいいんでしょうか？
まじでわかりません。
教えてください。
おねがいしますー！

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■14664 / inTopicNo.7)

　Re[5]: 複素数二つ目

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□投稿者/ miyup 大御所(431回)-(2006/07/14(Fri) 19:52:50)

2006/07/14(Fri) 23:03:02 編集(投稿者)

■No14662に返信(アドルフさんの記事)
> ありがとうございましたー！
>
> ＞> 出てきた場合、どちら側に付け加えればいいんでしょうか？
>
> どちらでもＯＫです。どちらか一方につければ十分です。
>
> どちらでもいいということは
> 180°+90°n=30°n+360°*m
> も
> 180°+90°n+360°*m=30°n
> も答えが同じということですよね。

答えの「式」はちがいますが、その結果出てくる「実際の角度」は同じになります。

奇数を２ｋ－１または２ｋ＋１のどちらで表現するかということと同じです。

> 上の式で計算すると
> 両辺を30でわって
> 60°+30°n=n+120°m

　6+3n=n+12m、2n=-6+12m、n=-3+6m

ですね。

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■14699 / inTopicNo.8)

　Re[6]: 複素数二つ目

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□投稿者/ アドルフ一般人(13回)-(2006/07/15(Sat) 19:48:15)

ありがとうございました。
たすかりました。

解決済み!

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