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■14290 / inTopicNo.1)

　部分分数？

□投稿者/ Qudus 一般人(1回)-(2006/07/03(Mon) 14:26:11)

こんにちは。

問題
Given that: f(x) = [(2x - 1)^3][(3x + 4)^2][(x^2 + 2)^4] ,
g(x) = [(4x + 1)^2][(2x^2 + 5)^3][(x^3 + 4)^4], and
y = [f(x)]/[g(x)], we know that we can write y' = y[h(x)],
where h(x) = A/(2x-1) + B/(3x+4) + C/(x^2 + 2)-D/(4x+1)-E/(2(x^2)+5)-F/(x^3 + 4) for properly chosen values of A through F, where some of these may involve x. If so, C = ？

答えは（８ｘ）です。気の遠くなりそうな問題に見えるのですが・・・。
部分分数でＣについて解こうとしても、分母に(x^2)+2がある為（xに何を入れてもゼロになりませんので）Ｃ以外のアルファベットを消す事ができません。

どうやって解けばいいでしょうか？教えてください。

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■14294 / inTopicNo.2)

　Re[1]: 部分分数？

▲▼■

□投稿者/ らすかる大御所(399回)-(2006/07/03(Mon) 17:48:34)
http://www10.plala.or.jp/rascalhp

英語が苦手で自信がありませんが、
y'={f'(x)g(x)-f(x)g'(x)}/{g(x)}^2
=f(x)h(x)/g(x)
∴h(x)=f'(x)/f(x)-g'(x)/g(x)
f'(x)=6(2x-1)^2(3x+4)^2(x^2+2)^4
　　　+6(2x-1)^3(3x+4)(x^2+2)^4
　　　+8x(2x-1)^3(3x+4)^2(x^2+2)^3
f'(x)/f(x)=6/(2x-1)+6/(3x+4)+8x/(x^2+2)
g'(x)=8(4x+1)(2x^2+5)^3(x^3+4)^4
　　　+12x(4x+1)^2(2x^2+5)^2(x^3+4)^4
　　　+12x^2(4x+1)^2(2x^2+5)^3(x^3+4)^3
g'(x)/g(x)=8/(4x+1)+12x/(2x^2+5)+12x^2/(x^3+4)
h(x)=f'(x)/f(x)-g'(x)/g(x)
　　=6/(2x-1)+6/(3x+4)+8x/(x^2+2)-8/(4x+1)-12x/(2x^2+5)-12x^2/(x^3+4)
∴A=6, B=6, C=8x, D=8, E=12x, F=12x^2
で良いのでしょうか。

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■14314 / inTopicNo.3)

　Re[2]: 部分分数？

▲▼■

□投稿者/ Qudus 一般人(2回)-(2006/07/04(Tue) 12:48:31)

らすかるさん詳しい解説有難うございます。

1点気になるところがあるのですが。
f(x)h(x)/g(x)ここから∴h(x)=f'(x)/f(x)-g'(x)/g(x)をどのように導いたのかちょっとわかりませんでした。良かったら考え方を教えてください。

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■14321 / inTopicNo.4)

　Re[3]: 部分分数？

▲▼■

□投稿者/ らすかる大御所(400回)-(2006/07/04(Tue) 18:00:53)
http://www10.plala.or.jp/rascalhp

{f'(x)g(x)-f(x)g'(x)}/{g(x)}^2=f(x)h(x)/g(x)
左辺を展開すると
f'(x)/g(x)-f(x)g'(x)/{g(x)}^2=f(x)h(x)/g(x)
両辺にg(x)を掛けると
f'(x)-f(x)g'(x)/g(x)=f(x)h(x)
両辺をf(x)で割ると
f'(x)/f(x)-g'(x)/g(x)=h(x)

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■14327 / inTopicNo.5)

　ありがとうございます。

▲▼■

□投稿者/ Qudus 一般人(3回)-(2006/07/04(Tue) 19:24:56)

らすかるさん有難うございます。とても判り易くて助かりました！

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