数学ナビゲーター掲示板 [One Topic All View / Re[8]: 三角関数の最大値 / Page: 0]

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■14156 / inTopicNo.1)

　三角関数の最大値

□投稿者/ えり一般人(3回)-(2006/06/28(Wed) 22:18:54)

来年大学受験の高卒生です。

「0≦x＜2π、0≦y＜2πのとき、
z=sinx+sinxsiny+2cosxcosy
の最大値を求めよ。」

という問題で、まず、積を和の形に直して、合成をしようとしたのですが、角度がx-yとかx+yになってややこしくなりそうで、本当にこの方針で合っているのかな、と思い、書き込みをしました。

教えていただけたら嬉しいです。宜しくお願いします。

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■14160 / inTopicNo.2)

　Re[1]: 三角関数の最大値

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□投稿者/ miyup 大御所(356回)-(2006/06/28(Wed) 23:14:15)

■No14156に返信(えりさんの記事)
> 来年大学受験の高卒生です。
>
> 「0≦x＜2π、0≦y＜2πのとき、
> z=sinx+sinxsiny+2cosxcosy
> の最大値を求めよ。」

合成してみる。

$2$z=(1+\sin y)\sin x+2\cos y\cdot\cos x=\sqrt{(1+\sin y)^2+(2\cos y)^2}\sin (x+\alpha)=\sqrt{-3(\sin y-\frac{1}{3})^2+\frac{16}{3}}\sin (x+\alpha)$ 　 $2$\alpha$ は省略

よって、 $2$\sin (x+\alpha)=1,\;\sin y=\frac{1}{3}$ のとき最大値 $2$\frac{4}{\sqrt{3}}$

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■14166 / inTopicNo.3)

　Re[2]: 三角関数の最大値

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□投稿者/ えり一般人(4回)-(2006/06/29(Thu) 00:11:13)

ありがとうございます。
sinやcosごと外に出して合成する、ということは初めて知りましたが、
どういう経緯でそのような考えに至るのでしょうか…

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■14171 / inTopicNo.4)

　Re[3]: 三角関数の最大値

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□投稿者/ 平木慎一郎大御所(392回)-(2006/06/29(Thu) 04:37:16)

■No14166に返信(えりさんの記事)
> ありがとうございます。
> sinやcosごと外に出して合成する、ということは初めて知りましたが、
> どういう経緯でそのような考えに至るのでしょうか…
横から失礼します。基本的に合成できる形は $2$a\sin x+b\cos x$ の形
ですよね。大幅に例が外れますが、定数yを含むｘについてのｎ次方程式
があるときこれを降べきの順に整理するとしたらx^nの項どうし、x^(n-1)の項
どうし・・・・というようにそれぞれくくって整理しますよね。
今回もそんな発想で「sinx」「cosx」という変数xを含むものについて整理
しているのです。

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■14194 / inTopicNo.5)

　Re[4]: 三角関数の最大値

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□投稿者/ えり一般人(5回)-(2006/06/29(Thu) 20:42:23)

なるほど…
では、z=siny+sinxsiny+2cosxcosyだったら、変数yを含むものについて整理するということですよね？

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■14195 / inTopicNo.6)

　Re[5]: 三角関数の最大値

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□投稿者/ 平木慎一郎大御所(393回)-(2006/06/29(Thu) 20:59:19)

■No14194に返信(えりさんの記事)
> なるほど…
> では、z=siny+sinxsiny+2cosxcosyだったら、変数yを含むものについて整理するということですよね？
合成するのですか？

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■14200 / inTopicNo.7)

　Re[5]: 三角関数の最大値

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□投稿者/ miyup 大御所(357回)-(2006/06/29(Thu) 21:14:30)

2006/06/29(Thu) 21:17:07 編集(投稿者)

■No14194に返信(えりさんの記事)
> なるほど…
> では、z=siny+sinxsiny+2cosxcosyだったら、変数yを含むものについて整理するということですよね？

ｘの方でもできます。要は、２変数の場合どちらか一方に注目（他方はただの文字と考える）して、式をまとめ直すと「見えて」きます（くるかな？）

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■14225 / inTopicNo.8)

　Re[6]: 三角関数の最大値

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□投稿者/ えり一般人(6回)-(2006/06/30(Fri) 22:58:10)

ｘの方でもできます。要は、２変数の場合どちらか一方に注目（他方はただの文字と考える）して、式をまとめ直すと「見えて」きます（くるかな？）

えーと･･･いわゆる「一文字固定」でしょうか･･･
式をまとめ直してみると勝手に合成に行き着くという感じなのでしょうかね。。
予備校では、「三角関数の最大・最小は置き換えか合成」と習ったのですが・・・

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■14233 / inTopicNo.9)

　Re[7]: 三角関数の最大値

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□投稿者/ miyup 大御所(362回)-(2006/07/01(Sat) 08:17:25)

■No14225に返信(えりさんの記事)

> えーと･･･いわゆる「一文字固定」でしょうか･･･

そういう言葉があるかどうかは知りませんが、１変数で解くのが基本です。

> 式をまとめ直してみると勝手に合成に行き着くという感じなのでしょうかね。。
> 予備校では、「三角関数の最大・最小は置き換えか合成」と習ったのですが・・・

そうですね。合成してｓｉｎにするか、＝ｔとおいてｎ次関数にするかのどちらかでしょう。

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■14246 / inTopicNo.10)

　Re[8]: 三角関数の最大値

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□投稿者/ えり一般人(7回)-(2006/07/01(Sat) 19:34:34)

理解できました、どうもありがとうございました(^^)

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