数学ナビゲーター掲示板 [One Topic All View / Re[10]: 積分の面積公式について / Page: 0]

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■14040 / inTopicNo.1)

　積分の面積公式について

□投稿者/ 大学受験生一般人(12回)-(2006/06/26(Mon) 19:20:59)

2006/06/29(Thu) 19:51:34 編集(投稿者)

積分の面積公式について質問です。

「S=∫[a,b] {f(x)-g(x)}」
「{f(x)≧g(x)}」

この公式を導く説明で、参考書では「S=∫1dS」で形式的に導かれる、とありこのdSは微小面積と呼ばれ、「dS≒{f(x)-g(x)dx}」となり、これを「S=∫1dS」」に代入し、積分区間a≦x≦bを与えたものが、面積公式だと書いてありました。

ここの説明がよく分からないのですが、主にdSがなぜ「微小面積」ということなのか、や「dS≒{f(x)-g(x)dx}」この式がどうして立てられるのか、です。

よければ、ご教授よろしくお願いします。

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■14090 / inTopicNo.2)

　Re[3]: 積分の面積公式について

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□投稿者/ soredeha 一般人(17回)-(2006/06/27(Tue) 05:36:32)

数Ⅲはやりましたか？　　区分救積法はご存知ですか？

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■14134 / inTopicNo.3)

　Re[4]: 積分の面積公式について

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□投稿者/ 大学受験生一般人(15回)-(2006/06/27(Tue) 23:22:18)

■No14090に返信(soredehaさんの記事)
> 数Ⅲはやりましたか？　　区分救積法はご存知ですか？

それが、文系なので数Ⅲ(Ｃ)の分野は勉強したことはありません・・・

もしこの質問の内容が、数Ⅲの範囲にまで及んでいるのであれば
とりあえずおいといて、また機会があればそのときに勉強しようと思います。
やはりそうなのでしょうか・・？

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■14140 / inTopicNo.4)

　Re[5]: 積分の面積公式について

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□投稿者/ noname 一般人(2回)-(2006/06/28(Wed) 06:38:46)

これは、数IIIの知識が無いとわからないというタイプの内容ではなく、
数IIIでちょうどハッキリと習うといったような内容なので、裏を返せば
数IIの知識がある人なら習得可能な概念です。
もちろん、面積がその積分で計算できるということさえ押さえておけば、
読み飛ばしてもさほど問題にならない知識です。ですから、先延ばしに
して差し支えありません。先延ばしになさるのならば以下の文章は
読まずに意識から捨ててください。

━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━
その「公式」（本当は積分の定義式）は、関数f(x)がg(x)とx=a、x=b
とで囲む図形の面積を（とても小さな）幅dxで縦に細かく短冊切りして
やることで、短冊の面積をaからbまで順番に全部足して行けばSが求ま
るんだ、ということを示しています。

そうはいってもそれじゃあSを具体的に計算できないので、もうちょっと詳しく
見ないといけないのですが、そのためにtがx軸上をaからbに向かって進む
とき、関数S(t)を、「x=aとx=t(tはaとbの間の値)が囲む領域内の短冊の
面積の和をS(t)と書く」というようにして定義してやります。

そうすると作り方から
　　　　S(a)=0（面積の測り始めは0）
　　　　S(b)=S（全部足したら面積が判る）
となり、しかもこの関数S(x)はわずかにdxだけ増えたときには、xの位置に
ある短冊の面積(f(x)-g(x))dxの分（と言っても「ほぼ」ですがdx→0
なら差がわからなくなるはずです）だけ増えることになるので、S(x)の微分は
　　　　(f(x)-g(x))dx/dx　=　f(x)-g(x)
です（本当はここの式は平均増加量を求めているので、微分とは近似的
に=でしかないんですが、dx→0の極限ではちゃんと=になります）。

ということで、面積の関数S(x)の微分がf(x)-g(x)だとわかったので、それを
積分をしてもとのS(x)が求まっちゃいましたよ、もちろんS(b)=Sだから面積S
が求まりますよ、というわけです。

/* 途中でS(t)と書いたのは文字の都合です。普通は変数xがとる任意の
　*値を同じ文字xで表すのですが、「x=aとx=x(xはaとbの間の値)」など
　* と書くと非常に紛らわしいのでそこだけ文字を変えています。
　*/

同じことが参考書にきっと図入りで書かれているでしょう。
おそらくは、私が掲示板でヒィヒィいいながら書き込む内容よりも参考書の
説明の方が物凄くわかりやすいはずだとは思いますが、一応言葉で説明
してみました。

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■14152 / inTopicNo.5)

　Re[6]: 積分の面積公式について

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□投稿者/ 大学受験生一般人(16回)-(2006/06/28(Wed) 20:42:54)

2006/06/28(Wed) 23:16:40 編集(投稿者)
2006/06/28(Wed) 22:09:44 編集(投稿者)
2006/06/28(Wed) 21:58:56 編集(投稿者)
2006/06/28(Wed) 21:38:14 編集(投稿者)
2006/06/28(Wed) 21:37:14 編集(投稿者)

すいません。一度解決ボタンを押してしまったのですが、
記事を読みましたところ、分からないところがありました。
大変申し訳ないのですが・・・
もしよければでいいので、ご教授よろしくお願いします。

> そうすると作り方から
> 　　　　S(a)=0（面積の測り始めは0）
> 　　　　S(b)=S（全部足したら面積が判る）
> となり、しかもこの関数S(x)はわずかにdxだけ増えたときには、xの位置に
> ある短冊の面積(f(x)-g(x))dxの分（と言っても「ほぼ」ですがdx→0
> なら差がわからなくなるはずです）だけ増えることになるので、S(x)の微分は
> 　　　　(f(x)-g(x))dx/dx　=　f(x)-g(x)

ここの箇所の

>S(x)の微分は
> 　　　　(f(x)-g(x))dx/dx　=　f(x)-g(x)

ここの部分で、なぜ「微分」の考え方が出てきているのでしょうか？
また、「(f(x)-g(x))dx/dx」この式でどうしてdxで割っているのかが分かりません。

どうぞよろしくお願いします。

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■14162 / inTopicNo.6)

　Re[7]: 積分の面積公式について

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□投稿者/ soredeha 一般人(20回)-(2006/06/28(Wed) 23:22:02)

f(x)≧g(x) ならば　　　S=∫[a,b] {f(x)-g(x)}dx
この公式を導く説明で、参考書の説明に拘らないのであれば
以下のような説明が可能です。教科書によくあるものです。

[a,b] で　f(x)≧0 ならば、S＝∫[a,b]f(x)dx
ただし、S は、y＝f(x) のグラフと、直線 x＝a,x＝b および x軸に囲まれた部分の面積。
これを前提とする。
y＝f(x),y=g(x) のグラフをy軸方向に C だけ平行移動して
[a,b] で　g(x)＋C≧0
とすることができる。例えば、C＝-min[a,b]g(x)
このとき、
y＝f(x)、y＝g(x)のグラフと、直線 x＝a,x＝b 　で囲まれた部分の面をS
y＝f(x)＋C、y＝g(x)＋Cのグラフと、直線 x＝a,x＝b 　で囲まれた部分の面をS1
とすると
S＝S1
また
f(x)＋C≧g(x)＋C≧0 　だから
S1＝∫[a,b]{(f(x)＋C)-(g(x)＋C)}dx＝∫[a,b] {f(x)-g(x)}dx 　　よって
S＝∫[a,b] {f(x)-g(x)}dx

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■14165 / inTopicNo.7)

　Re[8]: 積分の面積公式について

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□投稿者/ 大学受験生一般人(19回)-(2006/06/29(Thu) 00:03:26)

積分の面積公式の証明については、細かいところを除けば大体分かりました！

ひつこいようですが、

>S(x)の微分は
> 　　　　(f(x)-g(x))dx/dx　=　f(x)-g(x)

ここの式の意味をよければご教授お願いできませんでしょうか？
上の方で書き込んだ通りです。よろしくお願いします。

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■14173 / inTopicNo.8)

　Re[9]: 積分の面積公式について

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□投稿者/ noname 一般人(3回)-(2006/06/29(Thu) 08:55:25)

> ここの部分で、なぜ「微分」の考え方が出てきているのでしょうか？
> また、「(f(x)-g(x))dx/dx」この式でどうしてdxで割っているのかが分かりません。
についてですが,
>> （本当はここの式は平均増加量を求めている
と直後に書いていることを読み逃されているのだと思います. 割る理由もここにあります. dx→0の極限をとることを終始仮定して話しているので微分と書いているに過ぎません. ある関数の微分は元の関数の増減具合（接線の傾きで実感できますよね）を表しているというのを忘れなければ奇異に感じないようになるでしょう.

あと、
×ひつこい
○しつこい
ですね. 江戸っ子ですか?

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■14191 / inTopicNo.9)

　Re[10]: 積分の面積公式について

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□投稿者/ 大学受験生一般人(20回)-(2006/06/29(Thu) 19:11:35)

2006/06/29(Thu) 21:06:10 編集(投稿者)

>S(x)の微分は
>(f(x)-g(x))dx/dx　=　f(x)-g(x)
>です（本当はここの式は平均増加量を求めているので、微分とは近似的
>に=でしかないんですが、dx→0の極限ではちゃんと=になります）。

というのは、式で表すと

t=xとdxの間の点とおいて

S(x+dx)-S(x) = {f(t)-g(t)}dx

{S(x+dx)-S(x)}/dx = f(t)-g(t)

lim_[dx→0]{S(x+dx)-S(x)}/dx = lim_[dx→0]{f(t)-g(t)}

S'(x) = f(x)-g(x)

この式を変数tを使わずに、あくまで近似的に表したのが、

>(f(x)-g(x))dx/dx　=　f(x)-g(x)

という式なのかなぁ、と思いました。すると、

>割る理由もここにあります. dx→0の極限をとることを終始仮定して話しているので微分と書いているに過ぎません.

この理由もまだ確信はもてないですが、分かるような感じはします。
そこらへんは、どうなんでしょうか・・？

> あと、
> ×ひつこい
> ○しつこい
> ですね. 江戸っ子ですか?

東京生まれではなくて、大阪生まれです。
方言(？)みたいなのを、そのまま使ってしまいました・・・。
すみません。

どうぞよろしくお願いします。

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