 | 『区別がある』⇔『名前(番号)がある』と思ってください．
これは，問題には入っていませんが，付け加えて解説いたします．
『区別のある赤玉10個を，区別のある箱4つに入れる方法』
名前があるので，玉をa,b,c,…,jとして，箱をA,B,C,Dとします．
ここで，aはA〜Dの4つの箱に入れられるので4通り．
…としていけば，4^10通りとなります．
玉にも箱にも区別があるときには，『どの玉がどの箱に入るか』というところまでしっかり数えます．
(2)では，A,B,C,Dの箱に10個の区別のない玉を入れる入れ方となります．
これが何通りかは，10個の玉と(4-1)個の仕切りを並べる方法(空箱を作ってもよいから)で計算されます．
よって，13C3=286通り．
(もし，仕切りの方法を知らなければ，ここは無視してください．)
この場合，『どの箱に，それぞれ何個玉が入っているか』に注目しています．
つまり，玉に区別をなくしてしまうことで『どの玉…』というところはどうでもよくなり，
玉は個数だけを考えています．
もちろん，このとき(A,B,C,D)=(6,4,0,0)と(4,6,0,0)は別物として数えています．
最初の例では，A={a,b,c,d},B={e,f,g,h,i,j}と，A={a,b,c,j},B={d,e,f,g,h,i}まで，別物にして扱っています．
(1)では，先ほど挙げたような(6,4,0,0)(4,6,0,0)は別物とせず，
『6個入っている箱が1つと，4個入っている箱が1つと，何も入っていない箱が2つ』といった数え方になります．
つまり，箱にも区別をなくしてしまうと，『何個玉の入った箱が何個ある』というように，
玉も箱も個数だけ注目したような数え方になってしまいます．
では，(1)の数え方ですが，『辞書式』といって，大きい数字を前から，その数がが大きいものから順に並べていきます．
(10,0,0,0)，(9,1,0,0)，(8,2,0,0)，(8,1,1,0)，(7,3,0,0)，(7,2,1,0)，(7,1,1,1)，(6,4,0,0)，(6,3,1,0)，(6,2,2,0)，(6,2,1,1)，
(5,5,0,0)，(5,4,1,0)，(5,3,2,0)，(5,3,1,1)，(5,2,2,1)，(4,4,2,0)，(4,4,1,1)，(4,3,3,0)，(4,3,2,1)，(4,2,2,2)，(3,3,3,1)，(3,3,2,2)
で全部になり，計23通りです．
ちなみに，玉にも箱にも区別がないときの数え方は，これしかありません．
(2) (1)を用いた方法で解いていきます．
まずは，(1)の17通りの場合について，ある性質ごとに4グループに分けます．
グループ1:(10,0,0,0)，(7,1,1,1)，(4,2,2,2)，(3,3,3,1)
グループ2:(5,5,0,0)，(4,4,1,1)，(3,3,2,2)
グループ3:(9,1,0,0)，(8,2,0,0)，(8,1,1,0)，(7,3,0,0)，(6,4,0,0)，(6,2,2,0)(6,2,1,1)，(5,3,1,1)，(5,2,2,1)，(4,4,2,0)，(4,3,3,0)
グループ4:(7,2,1,0)，(6,3,1,0)，(5,4,1,0)，(5,3,2,0)，(4,3,2,1)
です．
さて，ここから箱に区別(名前)を付けていきます．
グループ1: (a,b,b,b)のパターン⇒ b個入っている3つの箱をA,B,C,Dの中から3つ選ぶ方法で4C3=4通り．
グループ2: (a,a,b,b)のパターン⇒ A,B,C,Dの中からa個のの箱を選ぶ方法は4C2=6通りで，b個入っている箱の選び方は1通り．
よって，6*1=6通り．
グループ3: (a,b,c,c)のパターン⇒ A,B,C,Dの中からc個の箱を選ぶ方法は4C2=6通りで，残り2箱からa,b個の箱を選ぶ方法は2通り．
よって，6C2*2=12通り．
グループ4: (a,b,c,d)のパターン⇒ A,B,C,Dをa,b,c,d個のどれにあてがうか選ぶ方法は4!=24通り．
それぞれのグループに属しているものが何通りずつあるか考慮して
4*4 +6*3 +12*11 +24*5 =286通り．
これを，一発で数えられたら，かなりえらいです．
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