数学ナビゲーター掲示板 [One Topic All View / Re[1]: 数学的帰納法（１） / Page: 0]

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■13776 / inTopicNo.1)

　数学的帰納法（１）

□投稿者/ ボビビンマン一般人(1回)-(2006/06/21(Wed) 22:21:12)

帰納法の証明についてです。

1
1+10+10^2・・・+10^n=-(10^{n+1}-1)
9 ↑　
　　　　　　　　　　　「10のＮ＋１乗のつもりです。｣

これのN=K+1のときが解けないのですが、教えてもらいねいですか？
よろしくお願いします

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■13790 / inTopicNo.2)

　Re[1]: 数学的帰納法（１）

▲▼■

□投稿者/ だるまにおん大御所(1391回)-(2006/06/22(Thu) 00:12:12)

何が書いてあるかいまいちはっきりとわからないので、
非負整数nに対して以下の等式を示せ、という問題だと解釈してみます。

$2$1+10+10^{2}+\displaystyle \cdots+10^{n}=\frac{10^{n+1}-1}{9}$

n=0のときは左辺=1，右辺=1で確かに成立します。

次に、n=kのとき

$2$1+10+10^{2}+\displaystyle \cdots+10^{k}=\frac{10^{k+1}-1}{9}$

が成立しているとして、n=k+1のときの事を考えてみましょう。

n=k+1のとき…

$2$1+10+10^{2}+\cdots+10^{k}+10^{k+1}$

$2$=(1+10+10^{2}+\cdots+10^{k})+10^{k+1}$

$2$=\displaystyle \frac{10^{k+1}-1}{9}+10^{k+1}$

$2$=\displaystyle \frac{10^{k+1}-1+9\cdot 10^{k+1}}{9}$

$2$=\displaystyle \frac{10\cdot 10^{k+1}-1}{9}$

$2$=\displaystyle \frac{10^{k+2}-1}{9}$

となって、同様の関係がn=k+1のときも成り立つ事が示せました。

以上より、 $2$1+10+10^{2}+\displaystyle \cdots+10^{n}=\frac{10^{n+1}-1}{9}$ が示せました。

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■13791 / inTopicNo.3)

　Re[1]: 数学的帰納法（１）

▲▼■

□投稿者/ はまだ大御所(365回)-(2006/06/22(Thu) 00:12:59)

■No13776に返信(ボビビンマンさんの記事)
n=k+1のとき
{1+10+10^2+・・・+10^k}+10^(k+1)
={10^(k+1)-1)/9+10^(k+1)
={10^(k+1)-1+9*10^(k+1)}/9
={10*10^(k+1)-1}/9
={10^(k+2)-1}/9

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