数学ナビゲーター掲示板 [One Topic All View / Re[4]: 定積分の計算 / Page: 0]

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■13754 / inTopicNo.1)

　定積分の計算

▼■

□投稿者/ 縷々一般人(1回)-(2006/06/21(Wed) 20:06:36)

I(n)＝∫sinnx/sinx dxとしたとき、(n-1)｛I(n)-I(n-2)｝＝2sin(n-1)x (n≧2)
を証明せよ。
という問題が分かりません(´ﾍ｀；)
どなたかご教唆ください。

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■13759 / inTopicNo.2)

　Re[1]: 定積分の計算

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□投稿者/ miyup 大御所(295回)-(2006/06/21(Wed) 20:54:49)

2006/06/21(Wed) 21:06:50 編集(投稿者)
2006/06/21(Wed) 20:58:36 編集(投稿者)

■No13754に返信(縷々さんの記事)
> I(n)＝∫sinnx/sinx dxとしたとき、(n-1)｛I(n)-I(n-2)｝＝2sin(n-1)x (n≧2)
> を証明せよ。

$2$I(n)-I(n-2)=\displaystyle\int\frac{\sin nx-\sin (n-2)x}{\sin x}dx=\displaystyle\int\frac{2\cos (n-1)x\cdot\sin x}{\sin x}dx=\displaystyle\int 2\cos (n-1)x dx=\frac{2}{n-1}\sin (n-1)x+C$

実は、 $2$C$ は不要です。

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■13762 / inTopicNo.3)

　Re[2]: 定積分の計算

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□投稿者/ 縷々一般人(2回)-(2006/06/21(Wed) 21:06:05)

すばやい返信ありがとうございます。
しかし、二個目と三個目の式。
sinx-sin(n-2)x　が　2cos(n-1)sinx　となる部分がよく分かりません。
何か公式を使ったのでしょうか？

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■13764 / inTopicNo.4)

　Re[3]: 定積分の計算

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□投稿者/ miyup 大御所(297回)-(2006/06/21(Wed) 21:08:12)

■No13762に返信(縷々さんの記事)
> すばやい返信ありがとうございます。
> しかし、二個目と三個目の式。
> sinx-sin(n-2)x　が　2cos(n-1)sinx　となる部分がよく分かりません。
> 何か公式を使ったのでしょうか？

和→積の公式です。

$2$\sin A-\sin B=2\cos \frac{A+B}{2}\sin \frac{A-B}{2}$

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■13777 / inTopicNo.5)

　Re[4]: 定積分の計算

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□投稿者/ 縷々一般人(3回)-(2006/06/21(Wed) 22:22:10)

納得しました！丁寧にどうもありがとうございました。

解決済み!

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