数学ナビゲーター掲示板 [One Topic All View / Re[2]: 証明問題 / Page: 0]

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■13563 / inTopicNo.1)

　証明問題

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□投稿者/ kisara 一般人(1回)-(2006/06/18(Sun) 07:33:28)

ロピﾀﾙの定理を使わずに　lim(x→∞）x/e^x＝+0を証明する方法を教えてください。

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■13567 / inTopicNo.2)

　Re[1]: 証明問題

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□投稿者/ 平木慎一郎大御所(357回)-(2006/06/18(Sun) 08:36:14)

■No13563に返信(kisaraさんの記事)
> ロピﾀﾙの定理を使わずに　lim(x→∞）x/e^x＝+0を証明する方法を教えてください。
$2$\displaystyle \lim_{x\to\infty}\frac{x}{e^x}$
は、分母を展開して
$2$\displaystyle \lim_{x\to\infty}\frac{x}{1+x+\frac{x^2}{2!}+\frac{x^3}{3!}+\frac{x^4}{4!}+\frac{x^5}{5!}}.........$
$2$\displaystyle \lim_{x\to\infty}\frac{1}{\frac{1}{x}+1+\frac{x}{2!}+\frac{x^2}{3!}+\frac{x^3}{4!}+\frac{x^4}{5!}+.....+\frac{x^{n-2}}{(n-1)!}}$
この後はわかりますか？

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■13568 / inTopicNo.3)

　Re[1]: 証明問題

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□投稿者/ 黄桃一般人(3回)-(2006/06/18(Sun) 09:59:26)

平木さんの解と同じことですが、x>0 の時 e^x>x^2/2 を利用します。この証明には、f(x)=e^x-x^2/2 とおいて、x>0 でf(x)>0　であることを示します（証明には微分を使います。2回微分まで計算しますので、もしわからなければ再質問してください）。これがいえれば、x>0 で 1/e^x<2/x^2 となりますから、x>0 で、0< x/e^x < 2x/x^2=2/x となり、x→∞ として、はさみうちの原理から求める結果が得られます。

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■13784 / inTopicNo.4)

　Re[2]: 証明問題

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□投稿者/ kisara 一般人(2回)-(2006/06/21(Wed) 23:10:56)

解答ありがとうございます。
自分でやってみたのですが、解答が十分かどうか不安です。詳解をお願いできませんでしょうか。
宜しくお願い致します。

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