 | 2006/06/17(Sat) 05:35:03 編集(投稿者)
∫[a,b]f(x)dx を x＝g(t) で置換積分することを考える。
a＝x0＜x1＜・・＜xn＝b
α＝t0＜t1＜・・＜tn＝β
xi＝g(ti) ( i＝0,1,2,・・,n ) とする。
Σ[i=0,n-1]f(xi)(xi+1-xi)
＝Σ[i=0,n-1]f(g(ti))(g(ti+1)-g(ti))
＝Σ[i=0,n-1]f(g(ti))g '(ci)(ti+1-ti)
＝Σ[i=0,n-1]f(g(ti))g '(ti)(ti+1-ti)
＋Σ[i=0,n-1]f(g(ti)){g '(ci)-g '(ti)}(ti+1-ti)
f(x) は有界、g '(t) は連続関数であるとすると g ' は一様連続だから
|s-t|＜δ ⇒ |g(s)-g(t)|＜ε
max{t1-t0,t2-t1,・・,tn-tn-1}＜δ ならば
|Σ[i=0,n-1]f(g(ti)){g '(ci)-g '(ti)}(ti+1-ti)|
≦Σ[i=0,n-1]|f(g(ti))||g '(ci)-g '(ti)|(ti+1-ti)
＜Σ[i=0,n-1]Ｍε(ti+1-ti)＝Ｍε(β-α)
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