 | 2006/06/11(Sun) 19:45:47 編集(投稿者)
一問目）
(d/dx)(logx)^2=2(logx)/x
n≧2なる整数nについて
{(d/dx)^n}(logx)^2
=∑[k=1～n-1](nCk)[{(d/dx)^k}logx][{(d/dx)^(n-k)}logx]+(nC0+nCn){(n-1)!}{(-1/x)^n}logx
((logx)^2=(logx)(logx)と見て、ライプニッツの定理を使っています。)
=∑[k=1～n-1](nCk){(k-1)!}{(-1/x)^(k-1)}{(n-k-1)!}(-1/x)^(n-k-1)+(nC0+nCn){(n-1)!}{(-1/x)^n}logx
=∑[k=1～n-1](nCk){(k-1)!}{(n-k-1)!}(-1/x)^(n-2)+2{(n-1)!}{(-1/x)^n}logx
=∑[k=1～n-1][n!/{k(n-k)}](-1/x)^(n-2)+2{(n-1)!}{(-1/x)^n}logx
={(n-1)!}{(-1/x)^(n-2)}∑[k=1～n-1]{1/k+1/(n-k)}+2{(n-1)!}{(-1/x)^n}logx
=2{(n-1)!}{(-1/x)^(n-2)}∑[k=1～n-1]1/k+2{(n-1)!}{(-1/x)^n}logx
=2{(n-1)!}{(-1/x)^n}{logx+(x^2)∑[k=1～n-1]1/k}
二問目）
{(d/dx)^n}log|1-x^2|
={(d/dx)^n}{log|1-x|+log|1+x|}
={(-1)^(n-1)}{(n-1)!}{1/(x-1)^(n-1)+1/(x+1)^(n-1)}
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