数学ナビゲーター掲示板 [One Topic All View / Re[7]: 行列の問題 / Page: 0]

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■13296 / inTopicNo.1)

　行列の問題

□投稿者/ サンダーボルド一般人(20回)-(2006/06/11(Sun) 15:01:05)

A=[2,1,1][1,2,1][1,1,2],X=[1,0,a][b,1,c][0,d,1]とする。
(1)AX=X*[1,0,0][0,1,0][0,0,4]となるように、a,b,c,dの値を求めよ。
a=c=1,b=d=-1が答えです。
(2)A^(n)Xを求めよ。ただし、nは自然数とする。

2番が分かりません。
A^(n)=[2^n,1,1][1,2^n,1][1,1,2^n],X=[1,0,a][b,1,c][0,d,1]をかけたんですが
答えとまったく違います。
答えは[1,0,4^n][-1,1,4^n][0,-1,4^n]です。

AX=X*[1,0,0][0,1,0][0,0,4]から
[1,0,0][0,1,0][0,0,4]をAと決め付けて（Aの行列と値が全然違うのに）
教科書では解いていっています。
どうして[1,0,0][0,1,0][0,0,4]をAだと決め付けられるんでしょうか？
解き方もおねがいします。
教えてください。

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■13301 / inTopicNo.2)

　Re[1]: 行列の問題

▲▼■

□投稿者/ ＫＧ一般人(5回)-(2006/06/11(Sun) 15:43:32)

2006/06/11(Sun) 15:46:00 編集(投稿者)

まず確認ですが，(２) でのＸは，(１) の条件の下でのＸですね？
それから，これは大学の「教科書」の問題ですか？

> [1,0,0][0,1,0][0,0,4]をAと決め付けて（Aの行列と値が全然違うのに）
　ここがちょっと理解しにくいんですが，
　こういう変形をしているんではないでしょうか？

　　　ＡＸ＝Ｘ*[1,0,0][0,1,0][0,0,4]
　から，
　　　Ｘ^(-1)ＡＸ＝[1,0,0][0,1,0][0,0,4]　←Ｘ^(-1) は逆行列
　　　｛Ｘ^(-1)ＡＸ｝^n＝｛[1,0,0][0,1,0][0,0,4]｝^n
　　　Ｘ^(-1)ＡＸ*Ｘ^(-1)ＡＸ*…*Ｘ^(-1)ＡＸ＝[1,0,0][0,1,0][0,0,4^n]
　　　Ｘ^(-1)ＡＥＡＥ…ＥＡＸ＝[1,0,0][0,1,0][0,0,4^n]　←Ｅは単位行列
　　　Ｘ^(-1)(Ａ^n)Ｘ＝[1,0,0][0,1,0][0,0,4^n]
　　　(Ａ^n)Ｘ＝Ｘ*[1,0,0][0,1,0][0,0,4^n]
　　　∴ (Ａ^n)Ｘ＝[1,0,4^n][-1,1,4^n][0,-1,4^n]

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■13388 / inTopicNo.3)

　Re[2]: 行列の問題

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□投稿者/ サンダーボルド一般人(25回)-(2006/06/13(Tue) 16:33:35)

ありがとうございました。

> まず確認ですが，(２) でのＸは，(１) の条件の下でのＸですね？
はい。説明不足ですみません。
> それから，これは大学の「教科書」の問題ですか？
いいえ。高校の教科書の問題で大学入試に実際出た問題らしいです。

うーん、ちょっと難しいです・・まだ理解できていません。
疑問なんですけど
最初に出てきた（問題文にある）A=[2,1,1][1,2,1][1,1,2]を
使わずに、どうしてAX=X*[1,0,0][0,1,0][0,0,4]の
[1,0,0][0,1,0][0,0,4]の部分を使うんでしょうか？
ここが一番分かりません。
どうしてなんでしょうか？

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■13390 / inTopicNo.4)

　Re[3]: 行列の問題

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□投稿者/ miyup ベテラン(238回)-(2006/06/13(Tue) 16:52:03)

2006/06/13(Tue) 17:16:14 編集(投稿者)

■No13388に返信(サンダーボルドさんの記事)

> 最初に出てきた（問題文にある）A=[2,1,1][1,2,1][1,1,2]を
> 使わずに、どうしてAX=X*[1,0,0][0,1,0][0,0,4]の
> [1,0,0][0,1,0][0,0,4]の部分を使うんでしょうか？
> ここが一番分かりません。
> どうしてなんでしょうか？

この行列 $2$$\begin{array}{ccc}1&0&0\\0&1&0\\0&0&4\end{array}$$ は、行列Ａの「固有値」1,1,4 を対角成分にした行列で、行列Ａを「対角化」し、 $2$A^n$ を求める　という問題です。

本来はこの「固有値」1,1,4 をまず求めさせるところから始まるわけですが、高校では「固有値」「固有ベクトル」は範囲外になってしまいました。

でも大学としては「対角化」→ $2$A^n$ をやらせたいので、いきなり
この行列 $2$$\begin{array}{ccc}1&0&0\\0&1&0\\0&0&4\end{array}$$ を与えるという手段にでている（と思われます？）

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■13391 / inTopicNo.5)

　Re[4]: 行列の問題

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□投稿者/ miyup ベテラン(239回)-(2006/06/13(Tue) 16:58:30)

2006/06/13(Tue) 19:14:49 編集(投稿者)
2006/06/13(Tue) 19:12:39 編集(投稿者)
2006/06/13(Tue) 17:29:36 編集(投稿者)

続き

この行列をＡとするのはちょっと？？？です。

この後の計算はＫＧさんがされていますね。

ポイントは、 $2$$\begin{array}{ccc}1&0&0\\0&1&0\\0&0&4\end{array}$^n=$\begin{array}{ccc}1^n&0&0\\0&1^n&0\\0&0&4^n\end{array}$$ になるということ
つまり「対角行列は簡単にｎ乗できる」ということです。

さらに、 $2$(X^{-1}AX)^n=(X^{-1}AX)(X^{-1}AX)(X^{-1}AX)\cdots (X^{-1}AX)$

$2$=X^{-1}A(XX^{-1})A(XX^{-1})A\cdots A(XX^{-1})AX=X^{-1}A^nX$ になります。

最終的に、 $2$X^{-1}A^nX=$\begin{array}{ccc}1^n&0&0\\0&1^n&0\\0&0&4^n\end{array}$$ すなわち、 $2$A^n=X$\begin{array}{ccc}1^n&0&0\\0&1^n&0\\0&0&4^n\end{array}$X^{-1}$ となります。

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■13639 / inTopicNo.6)

　Re[5]: 行列の問題

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□投稿者/ サンダーボルド一般人(30回)-(2006/06/19(Mon) 15:28:46)

ありがとうございました。
返事遅れてすみ

> 最初に出てきた（問題文にある）A=[2,1,1][1,2,1][1,1,2]を
> 使わずに、どうしてAX=X*[1,0,0][0,1,0][0,0,4]の
> [1,0,0][0,1,0][0,0,4]の部分を使うんでしょうか？
> ここが一番分かりません。
> どうしてなんでしょうか？

すみません、ここがまだ分からないんですが
＞行列Ａの「固有値」1,1,4 を対角成分にした行列で、行列Ａを「対角化」
を読んで
つまり、A=[2,1,1][1,2,1][1,1,2]を対角成分？というやつをしたら
[1,0,0][0,1,0][0,0,4]になるということでしょうか？
でもなぜ対角成分する必要があるんでしょうか？
そうでないと答えが出ない、というのは分かるんですが・・。

こういう問題がテストに出たら間違える可能性が高いように感じるんですが
どうすればいいんでしょうか？

おねがいします。

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■13652 / inTopicNo.7)

　Re[6]: 行列の問題

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□投稿者/ miyup 大御所(280回)-(2006/06/19(Mon) 17:12:15)

■No13639に返信(サンダーボルドさんの記事)
> つまり、A=[2,1,1][1,2,1][1,1,2]を対角成分？というやつをしたら
> [1,0,0][0,1,0][0,0,4]になるということでしょうか？
> でもなぜ対角成分する必要があるんでしょうか？
> そうでないと答えが出ない、というのは分かるんですが・・。

行列Ａを対角化すると、[1,0,0][0,1,0][0,0,4]になるということです。

対角行列は、(i,i)成分以外が０の行列のことで、ｎ乗が簡単にできる行列です。

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■13731 / inTopicNo.8)

　Re[7]: 行列の問題

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□投稿者/ サンダーボルト一般人(5回)-(2006/06/21(Wed) 14:46:37)

ありがとうございました。
うーん、難しいけど、しばらくまた勉強して（まだ対角化は習っていないのですが
もう少しで学ぶところなので）
分からなくなったら質問に来させてもらおうと思います。
長く付き合ってくださってありがとうございました。

解決済み!

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