数学ナビゲーター掲示板 [One Topic All View / Re[3]: 三角関数の置換積分 / Page: 0]

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■13266 / inTopicNo.1)

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□投稿者/ -(2006/06/11(Sun) 02:39:47)

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■13269 / inTopicNo.2)

　Re[1]: 三角関数の置換積分

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□投稿者/ 白拓大御所(423回)-(2006/06/11(Sun) 02:53:25)

2006/06/11(Sun) 02:55:51 編集(投稿者)

xとθで1対1の関係にするため、 $2$-\frac{\pi}{2}<= \theta <= \frac{\pi}{2}$
のようにします。
$2$a<= \theta <=a+\pi$
aはどんな値でもいいですが簡単のために0を中心に対称な $2$a=-\frac{\pi}{2}$
にすることが多いです。

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■13273 / inTopicNo.3)

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□投稿者/ -(2006/06/11(Sun) 03:37:25)

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■13277 / inTopicNo.4)

　Re[3]: 三角関数の置換積分

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□投稿者/ 白拓大御所(426回)-(2006/06/11(Sun) 09:36:48)

2006/06/11(Sun) 09:45:04 編集(投稿者)

>簡単のために $2$-\frac{\pi}{2}<= \theta <= \frac{\pi}{2}$ にしているだけなのですか
もちろん場合によってはその範囲でなければならないこともあるでしょうし、
はじめの投稿の情報だけでは正確で有用なことはあまりお答えできません。

> しかし1対１に対応するのなら、 $2$-\frac{\pi}{2} <= \theta <= 0, 2\pi <\theta <\frac{5\pi}{2}$ のようにして考えてもよく

$2$ >\displaystyle\int_{0}^{\frac{\pi}{6}}\theta d\theta = \frac{\pi}{6}$

$2$\displaystyle\int_{0}^{\frac{\pi}{6}}d\theta = \frac{\pi}{6}$ 　ですね。

$2$> \displaystyle\int_{0}^{\frac{13\pi}{6}}d\theta$
とはできません。

$2$0<\theta<=2\pi$ で $2$\theta$ は定義されないからです。
$2$\displaystyle\int_{2\pi}^{\frac{13\pi}{6}}d\theta =\frac{\pi}{6}$

となります。

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■13288 / inTopicNo.5)

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□投稿者/ -(2006/06/11(Sun) 13:18:31)

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■13318 / inTopicNo.6)

　Re[5]: 三角関数の置換積分

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□投稿者/ 平木慎一郎大御所(325回)-(2006/06/11(Sun) 20:02:51)

>> $2$> \displaystyle\int_{0}^{\frac{13\pi}{6}}d\theta$
>>とはできません。
>>
>>
>> $2$0<\theta<=2\pi$ で $2$\theta$ は定義されないからです。
>> $2$\displaystyle\int_{2\pi}^{\frac{13\pi}{6}}d\theta =\frac{\pi}{6}$
>>
>>となります。
>
> $2$0<\theta<=2\pi$ で $2$\theta$ は定義されないといけないというのは、決まりなのでしょうか？一般角で考えてはいけないのでしょうか？？
横から失礼します。
決まりというよりご自分で計算された積分をご覧に
なれば判ると思いますが・・
積分する区間が明らかに違っています。
→[0→π/6]と[0→13π/6]
一般角で考えてしまうと
積分した値は明らかに異なってしまいますよね。

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■13330 / inTopicNo.7)

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□投稿者/ -(2006/06/11(Sun) 23:15:05)

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■13332 / inTopicNo.8)

　Re[7]: 三角関数の置換積分

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□投稿者/ 白拓大御所(430回)-(2006/06/11(Sun) 23:41:06)

2006/06/11(Sun) 23:43:14 編集(投稿者)

> ありがとうございます。確かに異なります。だから答えが無限にあるのではないかと考えています。この考えは間違っていますか？？

　間違っていますが、面白い疑問ですね。
>>1対１に対応するのなら、 $2$-\frac{\pi}{2} <= \theta <= 0, 2\pi <\theta <\frac{5\pi}{2}$ のようにして考えてもよく

とますろうさんが範囲を定義したように、 $2$0<\theta<=2\pi$ で $2$\theta$ に対応する $2$x$ が存在しないため、区間(0,2π]では積分できません。

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■13381 / inTopicNo.9)

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□投稿者/ -(2006/06/13(Tue) 13:31:54)

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■13383 / inTopicNo.10)

　Re[9]: 三角関数の置換積分

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□投稿者/ nanishi 一般人(1回)-(2006/06/13(Tue) 14:10:36)

随分と傲慢な言い方をされますがどこからそんな自信が出てくるのでしょう？

前提？どこにそんなものがありますか。
θ:0～13π/6の中に0<θ≦2πは含まれますよ。

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■13386 / inTopicNo.11)

　Re[3]: 三角関数の置換積分

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□投稿者/ miyup ベテラン(237回)-(2006/06/13(Tue) 16:02:06)

2006/06/13(Tue) 16:24:20 編集(投稿者)

■No13273に返信(ますろうさんの記事)
> しかし1対１に対応するのなら、 $2$-\frac{\pi}{2} <= \theta <= 0, 2\pi < \theta < \frac{5\pi}{2}$ のようにして考えてもよく，次のような積分も考えることができませんか？？
>
> $2$\displaystyle \displaystyle\int_{0}^{\frac{1}{2}}\frac{1}{\sqrt{1-x^2}}dx$ ~
>
> $2$x=\sin {\theta }$ とおくと
>
> $2$\displaystyle \displaystyle\int_{0}^{\frac{\pi}{6}}\theta d\theta = \frac{\pi}{6}$
>
> $2$\displaystyle \displaystyle\int_{0}^{\frac{13\pi}{6}}\theta d\theta = \frac{13\pi}{6}$
>

下の式は、 $2$\displaystyle \displaystyle\int_{2\pi}^{\frac{13\pi}{6}}\theta d\theta = \frac{\pi}{6}$ が正しい計算です。

とてもいい質問ですね。このように考えて下さい。

$2$x=\sin \theta$ とおいたとき、 $2$x:0 \to \frac{1}{2}$ では、 $2$\theta:0 \to \frac{\pi}{6}$ と「連続的に変化」します。途中で $2$2\pi$ を通り過ぎることはありませんね。

一般角では、積分範囲を $2$\theta:0+2\pi\times n \to \frac{\pi}{6}+2\pi\times n$ ( $2$n$ は整数)と考えることができます。

でも、どの $2$n$ で定積分しても答えは全て同じです。だから一番単純な積分範囲で積分するのがベストです。

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