数学ナビゲーター掲示板 [One Topic All View / Re[3]: 極限 / Page: 0]

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■13192 / inTopicNo.1)

　極限

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□投稿者/ りり一般人(8回)-(2006/06/09(Fri) 18:53:35)

lim[x→0]sinx-xe^x+x^2/x(cosx-1)を漸近展開を使って求めたいんです。ロピタルの定理を使って求める事はできたんですけど、漸近展開を使ってやる事ができなくて。だれか教えてください！！

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■13204 / inTopicNo.2)

　Re[1]: 極限

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□投稿者/ miyup ベテラン(209回)-(2006/06/09(Fri) 22:09:36)

■No13192に返信(りりさんの記事)
> lim[x→0]sinx-xe^x+x^2/x(cosx-1)を漸近展開を使って求めたいんです。ロピタルの定理を使って求める事はできたんですけど、漸近展開を使ってやる事ができなくて。だれか教えてください！！

$2$\sin x=x-\frac{x^3}{6}+\cdots+R$ $2$\cos x=1-\frac{x^2}{2}+\cdots+R$ $2$e^x=1+x+\frac{x^2}{2}+\cdots+R$ より、３次の項までを使って

　 $2$\sin x-xe^x+x^2=x-\frac{x^3}{6}-x(1+x+\frac{x^2}{2})+x^2=-\frac{2}{3}x^3$

　 $2$x(\cos x-1)=x\cdot$-\frac{x^2}{2}$=-\frac{1}{2}x^3$

よって、 $2$\lim_{x \to 0}\frac{\sin x-xe^x+x^2}{x(\cos x-1)}=\lim_{x \to 0}\frac{-\frac{2}{3}x^3}{-\frac{1}{2}x^3}=\frac{4}{3}$

（剰余項無視でちょっと手抜き。きちんと完成させてください）

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■13205 / inTopicNo.3)

　Re[2]: 極限

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□投稿者/ りり一般人(10回)-(2006/06/09(Fri) 22:15:33)

３次まででやるのは、どうしてですか？
あと、x^2は漸近展開しないでそのままなのは、何でですか？

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■13212 / inTopicNo.4)

　Re[3]: 極限

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□投稿者/ miyup ベテラン(210回)-(2006/06/09(Fri) 22:29:37)

2006/06/09(Fri) 22:49:57 編集(投稿者)

■No13205に返信(りりさんの記事)
> ３次まででやるのは、どうしてですか？

何次まで使えば極限計算がうまくいくのか、試行錯誤(?)の結果です。

分母の展開で、最低次数は３次になるので、分子も３次になるよう考えました。
４次以上の項は、x^3 で割れば x, x^2,… と残りますが、x→0 とすれば全て 0 になるので、４次以上はどれだけあっても 0 です。

> あと、x^2は漸近展開しないでそのままなのは、何でですか？

なぜ展開するのか→sin x や e^x を、ｘのべき級数として扱いたいから。
なぜ展開しないのか→必要ないから。

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