 | f(x)がc^2級で、f^2(a)＝０ではないとすると、平均値の定理f(a+h)=f(a)+hf^1 (a+θh）において、θはｈの関数ではあるがlim[h→0]θ＝1/2を満たす事を示せっていう問題です。テーラー展開を用いたりするみたいなんですけど、わかりません。教えてください！！
θは(0<θ<1)である。（平均値の定理から）
fはC^2級なので
f^1(a+θh)=f^1(a)+θhf^2(a+γ(θh))なるγ(0<γ<1)が存在。
∴f(a+h)=f(a)+hf^1(a)+θh^2f^2(a+γ(θh))
また、
f(a+h)=f(a)+hf^1(a)+h^2*(1/2)*f^2(a+βh) なるβ(0<β<1)が存在。
∴f(a)+hf^1(a)+θh^2f^2(a+γ(θh))=f(a)+hf^1(a)+h^2*(1/2)*f^2(a+βh)
∴h≠0のとき、
θf^2(a+γ(θh))=(1/2)*f^2(a+βh)
ここで、γθh,βhがh→0のとき0に収束することを示します。
任意のε>0に対し、
|h|<εとなるようなhをとれば、
|γθh|<|h|<ε
|βh|<|h|<ε
∴βh,γθhは0に収束。
θf^2(a+γ(θh))のh→0の極限はfがC^2級であることから、
f^2(a)はaで連続であり、
∴lim(h→0){θf^2(a+γ(θh))}=(1/2)f^2(a)
また、
lim(h→0){f^2(a+γ(θh))}=f^2(a)≠0
∴lim(h→0)θ=(1/2)
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