数学ナビゲーター掲示板 [One Topic All View / Re[1]: 関数の最大・最小 / Page: 0]

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■13123 / inTopicNo.1)

　関数の最大・最小

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□投稿者/ マーブル一般人(3回)-(2006/06/07(Wed) 20:20:52)

半径３の球に内接する直円柱のうちで
体積のもっとも大きいものの底面の半径、高さ
およびそのときの体積を求めよ。

よろしくお願いします。

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■13124 / inTopicNo.2)

　Re[1]: 関数の最大・最小

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□投稿者/ だるまにおん大御所(1385回)-(2006/06/07(Wed) 20:36:56)

球の中心をO，円柱の底面の円周のある一点をA，
底面の中心をC，底面の半径をx(0＜x＜3)とすると
三平方の定理より
OC=√(OA^2-CA^2)=√(9-x^2)
よって円柱の高さは2OC=2√(9-x^2)
また、底面の面積はπx^2ですから
円柱の体積は、(底面積×高さ)により2πx^2√(9-x^2)

あとは　2πx^2√(9-x^2)　(0＜x＜3)　の最大値を求めるだけです。

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■13125 / inTopicNo.3)

　Re[1]: 関数の最大・最小

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□投稿者/ miyup ファミリー(198回)-(2006/06/07(Wed) 20:40:23)

2006/06/07(Wed) 20:49:41 編集(投稿者)

■No13123に返信(マーブルさんの記事)
> 半径３の球に内接する直円柱のうちで
> 体積のもっとも大きいものの底面の半径、高さ
> およびそのときの体積を求めよ。

円柱の高さを $2$2x$ とおきます。

球の中心 $2$O$ と底面の円の中心 $2$C$ を結ぶ線分 $2$OC$ と、底面の半径を表す線分 $2$CP$ ( $2$P$ は底面の円周上の点)を考える。

△OCPは直角三角形より $2$CP^2=OP^2-OC^2=9-x^2$ で、直円柱の体積 $2$V(x)$ は

$2$V(x)=\pi\cdot CP^2 \cdot 2x=\pi (9-x^2)\cdot 2x$ ただし $2$0<x<3$

$2$V(x)$ は３次関数なので、微分・増減表で最大値がわかります。（だるまにおんさんとは最初の設定が違うだけです）

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