数学ナビゲーター掲示板 [One Topic All View / Re[9]: 数Ⅱ　微分の問題です。 / Page: 0]

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■13001 / inTopicNo.1)

　数Ⅱ　微分の問題です。

□投稿者/ みやこ一般人(2回)-(2006/06/05(Mon) 18:39:03)

曲線ｙ=f(X)=X(4-X)上に４点　Ｏ(０，０)、Ａ(ａ、f（ａ)) Ｂ（b、f(b))、
ｃ(３、３)　（０＜ａ＜b＜３）をとる。

(1)四角形ОABCの面積が最大になるときのa、bの値を求めよ。
(2)角ОACの大きさが最小になるときのａの値を求めよ。

さっぱりわかりません・・・。解説していただけると嬉しいです。

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■13002 / inTopicNo.2)

　Re[1]: 数Ⅱ　微分の問題です。

▲▼■

□投稿者/ miyup ファミリー(175回)-(2006/06/05(Mon) 18:45:17)

2006/06/05(Mon) 18:51:15 編集(投稿者)
2006/06/05(Mon) 18:51:13 編集(投稿者)

■No13001に返信(みやこさんの記事)
> 曲線ｙ=f(X)=X(4-X)上に４点　Ｏ(０，０)、Ａ(ａ、f（ａ)) Ｂ（b、f(b))、
> ｃ(３、３)　（０＜ａ＜b＜３）をとる。
>
> (1)四角形ОABCの面積が最大になるときのa、bの値を求めよ。
> (2)角ОACの大きさが最小になるときのａの値を求めよ。
>
> さっぱりわかりません・・・。解説していただけると嬉しいです。

(1) △ＯＡＣと△ＡＢＣに分割します。
　まず△ＯＡＣが最大になるときは、底辺ＯＣからの高さが最大になるグラフ上の点がＡです（ＯＣと平行な接線が引ける点）
　次に、△ＡＢＣについて、底辺ＡＣからの高さが最大になるグラフ上の点がＢです。

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■13003 / inTopicNo.3)

　Re[2]: 数Ⅱ　微分の問題です。

▲▼■

□投稿者/ みやこ一般人(4回)-(2006/06/05(Mon) 18:55:02)

(1) △ＯＡＣと△ＡＢＣに分割します。
> 　まず△ＯＡＣが最大になるときは、底辺ＯＣからの高さが最大になるグラフ上の点がＡです（ＯＣと平行な接線が引ける点）
> 　次に、△ＡＢＣについても、底辺ＡＣからの高さが最大になるグラフ上の点がＢです。

レスありがとうございます。
どのようにしたら、高さが最大になる点がわかるのでしょうか・・・？

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■13004 / inTopicNo.4)

　Re[3]: 数Ⅱ　微分の問題です。

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□投稿者/ miyup ファミリー(176回)-(2006/06/05(Mon) 19:00:35)

■No13003に返信(みやこさんの記事)

> どのようにしたら、高さが最大になる点がわかるのでしょうか・・・？

まず△ＯＡＣが最大になるときは、底辺ＯＣからの高さが最大になるグラフ上の点がＡです（ＯＣと平行な接線が引ける点）

$2$f'(a)$ とＯＣの傾き $2$1$ が等しいときの $2$a$ を求めて下さい。

点Ａが確定したら、ＡＣの傾きを出して、 $2$=f'(b)$ とすれば点Ｂです。

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■13007 / inTopicNo.5)

　Re[4]: 数Ⅱ　微分の問題です。

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□投稿者/ みやこ一般人(5回)-(2006/06/05(Mon) 19:51:08)

$2$f'(a)$ =4-2X
ＯＣ:y=X　

$2$f'(a)$ とＯＣの傾き $2$1$ が等しいときの $2$a$ を求めて下さい。
というのがちょっとわかりませんでした。
すみません・・・。

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■13009 / inTopicNo.6)

　Re[5]: 数Ⅱ　微分の問題です。

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□投稿者/ miyup ファミリー(177回)-(2006/06/05(Mon) 20:00:31)

2006/06/05(Mon) 20:06:24 編集(投稿者)
2006/06/05(Mon) 20:01:52 編集(投稿者)
2006/06/05(Mon) 20:01:34 編集(投稿者)

■No13007に返信(みやこさんの記事)
> $2$f'(a)$ =4-2X
> ＯＣ:y=X　
>
> $2$f'(a)$ とＯＣの傾き $2$1$ が等しいときの $2$a$ を求めて下さい。
> というのがちょっとわかりませんでした。

$2$f'(x)=4-2x$ より $2$f'(a)=4-2a$

直線ＯＣ $2$y=x$ より、傾き $2$1$

→ $2$4-2a=1$ として、 $2$a=\frac{3}{2}$

計算は上の通りですが、図で考えてみてください。

底辺ＯＣに定規を当て、そのまま平行にずらしていくと、放物線の接線になるのがわかりますか？
このとき、ＯＣから一番遠い（高さが一番高い）所にきたことになります。
よってこのとき、三角形の面積が最大になります。

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■13010 / inTopicNo.7)

　Re[5]: 数Ⅱ　微分の問題です。

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□投稿者/ 平木慎一郎大御所(315回)-(2006/06/05(Mon) 20:02:48)

■No13007に返信(みやこさんの記事)
> $2$f'(a)$ =4-2X
> ＯＣ:y=X　
>
> $2$f'(a)$ とＯＣの傾き $2$1$ が等しいときの $2$a$ を求めて下さい。
> というのがちょっとわかりませんでした。
> すみません・・・。
横から失礼します。
みやこさん、直線OCと点Aを通る直線が平行にならなければならないことは
お判りですか？
$2$f'(a)=4-2a$ ですので単純に $2$4-2a=1$ を計算するだけです。

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■13011 / inTopicNo.8)

　Re[6]: 数Ⅱ　微分の問題です。

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□投稿者/ 平木慎一郎大御所(316回)-(2006/06/05(Mon) 20:04:15)

> $2$f'(a)=4-2a$ ですので単純に $2$4-2a=1$ を計算するだけです。
点Aにおける接線の傾き＝1を利用するということです。

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■13013 / inTopicNo.9)

　Re[6]: 数Ⅱ　微分の問題です。

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□投稿者/ みやこ一般人(6回)-(2006/06/05(Mon) 20:26:18)

おふたりともありがとうございます。
$2$a=\frac{3}{2}$ 　より、
Ａ( $2$a=\frac{3}{2}$ , $2$a=\frac{15}{4}$

ＡＣ:y＝- $2$a=\frac{1}{2}$ ｘ＋ $2$a=\frac{15}{4}$
となりましたが、よろしいですか？

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■13015 / inTopicNo.10)

　Re[6]: 数Ⅱ　微分の問題です。

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□投稿者/ miyup ファミリー(178回)-(2006/06/05(Mon) 20:27:49)

■No13009に返信(miyupさんの記事)

> $2$f'(x)=4-2x$ より $2$f'(a)=4-2a$
>
> 直線ＯＣ $2$y=x$ より、傾き $2$1$
>
> → $2$4-2a=1$ として、 $2$a=\frac{3}{2}$

つづき

$2$a=\frac{3}{2}$ のとき $2$f(a)=\frac{3}{2}(4-\frac{3}{2})=\frac{15}{4}$

　よって、 $2$A(\frac{3}{2},\frac{15}{4})$

また、直線ＡＣの傾きは $2$\frac{3-\frac{15}{4}}{3-\frac{3}{2}}=-\frac{1}{2}$ で

　 $2$f'(b)=4-2b=-\frac{1}{2}$ より $2$b=\frac{9}{4}$ $2$f(b)=\frac{9}{4}(4-\frac{9}{4})=\frac{63}{16}$

　よって、 $2$B(\frac{9}{4},\frac{63}{16})$ 以上。　(2)は……

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■13016 / inTopicNo.11)

　Re[7]: 数Ⅱ　微分の問題です。

▲▼■

□投稿者/ みやこ一般人(7回)-(2006/06/05(Mon) 20:28:10)

すみません、間違えました。> $2$a=\frac{3}{2}$ 　より、
> Ａ( $2$\frac{3}{2}$ , $2$\frac{15}{4}$ )
>
> ＡＣ:y＝- $2$\frac{1}{2}$ ｘ＋ $2$\frac{15}{4}$
> となりましたが、よろしいですか？

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■13017 / inTopicNo.12)

　Re[8]: 数Ⅱ　微分の問題です。

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□投稿者/ miyup ファミリー(179回)-(2006/06/05(Mon) 20:32:58)

■No13016に返信(みやこさんの記事)
> すみません、間違えました。> $2$a=\frac{3}{2}$ 　より、
>>Ａ( $2$\frac{3}{2}$ , $2$\frac{15}{4}$ )
>>
>>ＡＣ:y＝- $2$\frac{1}{2}$ ｘ＋ $2$\frac{15}{4}$
>>となりましたが、よろしいですか？

よいです。つづきは No13015 へ。

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■13019 / inTopicNo.13)

　Re[7]: 数Ⅱ　微分の問題です。

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□投稿者/ みやこ一般人(8回)-(2006/06/05(Mon) 21:00:14)

ありがとうございました！
すみませんが、(2)の方も解説していただけると嬉しいです。

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■13025 / inTopicNo.14)

　Re[8]: 数Ⅱ　微分の問題です。

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□投稿者/ miyup ファミリー(180回)-(2006/06/05(Mon) 22:23:16)

2006/06/05(Mon) 22:57:58 編集(投稿者)

■No13019に返信(みやこさんの記事)
> ありがとうございました！
> すみませんが、(2)の方も解説していただけると嬉しいです。

おまたせしました。図を描いて理解してください。

直線ＯＡ、ＣＡとｘ軸とのなす角を、 $2$\theta_1,\;\theta_2$ とおく。

また直線ＯＡ、ＣＡの傾きを $2$m_1,\;m_2$ とおくと、 $2$m_1=\tan \theta_1,\;m_2=\tan \theta_2$

このとき、∠ＯＡＣ＝ $2$\theta_2-\theta_1=\theta$ とおくと、

$2$\tan \theta =\tan (\theta_2-\theta_1)=\frac{m_2-m_1}{1+m_2\cdot m_1}$ …①

ここで、 $2$m_1=\frac{f(a)}{a}=4-a,\;m_2=\frac{f(a)-3}{a-3}=1-a$ より

①＝ $2$\frac{(1-a)-(4-a)}{1+(1-a)(4-a)}=\frac{-3}{a^2-5a+5}=\frac{3}{-(a-\frac{5}{2})^2+\frac{5}{4}}$

分母最大→ $2$\tan \theta(>0)$ 最小→ $2$\theta$ 最小　より、 $2$0<a<3$ のとき、 $2$a=\frac{5}{2}$

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■13033 / inTopicNo.15)

　Re[9]: 数Ⅱ　微分の問題です。

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□投稿者/ みやこ一般人(9回)-(2006/06/06(Tue) 00:00:28)

お返事遅くなりました・・・。
ありがとうございました。
図を描いたらわかりました！
また機会があったら宜しくお願いします。

解決済み!

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