 | まず
f(x)={x+(cosθ)/√3}^2-(1/3)(cosθ)^2-2sinθ
と変形できることに注意するとM(θ)を与えるxの値は-(cosθ)/√3との差が最も小さい整数になります。
ここで0°≦θ≦180° ①より
-1≦cosθ≦1 ②
に注意します。
（１）
cosθ≧√3/2 ③
ゆえ②との共通範囲を考えると
-1/√3≦-(cosθ)/√3≦-1/2
よってf(x)はx=-1のとき最小になりますので
M(θ)=f(1)=1-2(cosθ)/√3-2sinθ=1-2{sinθ+(cosθ)/√3}
=1-(4/√3){sin(θ+60°)
①③よりで0°≦θ≦30°
∴60°≦θ+60°≦90°
よってM(θ)はθ+60°=60°、つまりθ=0°のとき最小になり
最小値は1-2/√3
（２）
②より-1/√3≦-(cosθ)/√3≦1/√3
となることに注意すると
(i)-1/√3≦-(cosθ)/√3≦-1/2のとき
M(θ)、およびその最小値は（１）のようになります。
(ii)-1/2<-(cosθ)/√3≦1/2のとき
f(x)はx=0のとき最小になりますので
M(θ)=f(0)=-2sinθ
このとき-√3/2≦cosθ<√3/2
ですので30°<θ≦150°
(iii)1/2<-(cosθ)/√3≦1/√3のとき
f(x)はx=1のとき最小になりますので
M(θ)=f(1)=1+2(cosθ)/√3-2sinθ
このとき-1≦cosθ<-√3/2
ですので150°<θ≦180°
(i)(ii)(iii)それぞれの場合のM(θ)の最小値の内最も小さいものが求める最小値になります。
（(ii)(iii)の場合の最小値は（１）を参考にして自分で計算してみて下さい）
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