数学ナビゲーター掲示板 [One Topic All View / Re[1]: 重心の証明 / Page: 0]

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■12934 / inTopicNo.1)

　重心の証明

□投稿者/ *由愛* 一般人(1回)-(2006/06/04(Sun) 19:00:41)

お願いします。金,土,日と考えましたが分かりません。

　●重心の証明です●　数Ⅰのとき方でやれと言われました。
３つの中線は1点で交わる。(つまり重心)を証明せよ。

※図はこちらです→　http://pr2.cgiboy.com/S/3076038/

　図のように直線BCをx軸、点Bを通り直線BCに垂直な直線をy軸にとると
各頂点ABCの座標をA(a,b)　B(0,0)　C(c,0)　とすることができる。
　辺BC、CA、ABのそれぞれの中点をM,N,Oとすると
点Mは辺BCの中点なのでM(2分のc、0)
点Nは辺CA　　　　　　N(2分のa＋c、2分のb)
点oは辺AB　　　　　　O(2分のa、2分のb)
　ゆえに、直線BNの方程式はy＝a＋c分のb・・・①

　また直線AMの方程式をy＝mx＋nとすると
点A(a.b)を通るので　b＝ma＋n・・・②
点M(2分のc、0)を通るので　０＝2分のcm＋n・・・③
　②③を解いて

ココまで授業でやりました。困っています。お願いします。

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■12938 / inTopicNo.2)

　Re[1]: 重心の証明

▲▼■

□投稿者/ miyup ファミリー(156回)-(2006/06/04(Sun) 19:22:54)

2006/06/04(Sun) 19:23:35 編集(投稿者)

■No12934に返信(*由愛*さんの記事)
> お願いします。金,土,日と考えましたが分かりません。
>
> 　●重心の証明です●　数Ⅰのとき方でやれと言われました。
> ３つの中線は1点で交わる。(つまり重心)を証明せよ。
>
> ※図はこちらです→　http://pr2.cgiboy.com/S/3076038/
>
> 　図のように直線BCをx軸、点Bを通り直線BCに垂直な直線をy軸にとると
> 各頂点ABCの座標をA(a,b)　B(0,0)　C(c,0)　とすることができる。
> 　辺BC、CA、ABのそれぞれの中点をM,N,Oとすると
> 点Mは辺BCの中点なのでM(2分のc、0)
> 点Nは辺CA　　　　　　N(2分のa＋c、2分のb)
> 点oは辺AB　　　　　　O(2分のa、2分のb)
　ゆえに、直線BNの方程式は $2$y=\frac{b}{a+c}x$ ・・・①
>
> 　また直線AMの方程式をy＝mx＋nとすると
> 点A(a.b)を通るので　b＝ma＋n・・・②
> 点M(2分のc、0)を通るので　０＝2分のcm＋n・・・③
> 　②③を解いて
　ゆえに、直線AMの方程式は $2$y=\frac{2b}{2a-c}x-\frac{bc}{2a-c}$ ・・・④

①④の交点は、 $2$\frac{b}{a+c}x=\frac{2b}{2a-c}x-\frac{bc}{2a-c}$ として $2$x=\frac{a+c}{3}\;,y=\frac{b}{3}$ すなわち交点は $2$(\frac{a+c}{3}\;,\frac{b}{3})$ …⑤

直線ＯＣの方程式は $2$y=\frac{b}{a-2c}(x-c)$ で、これに⑤: $2$x=\frac{a+c}{3}$ を代入すると、 $2$y=\frac{b}{a-2c}(\frac{a+c}{3}-c)=\cdots=\frac{b}{3}$ となり、

⑤は直線ＯＣ上の点であることがわかる。

でもこのやり方は数Ⅱでは？

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■12939 / inTopicNo.3)

　Re[1]: 重心の証明

▲▼■

□投稿者/ はまだ大御所(307回)-(2006/06/04(Sun) 19:31:08)

■No12934に返信(*由愛*さんの記事)

各頂点ABCの座標をA(2a,2b)　B(-2c,0)　C(2c,0)　とすると分数が少なくて済みます
辺BC、CA、ABのそれぞれの中点はO(0,0),M(a+c,b),N(a-c,b)
直線OAの式　y=(b/a)x
直線BMの式　y=(b/(a+3c))x+2bc/(a+3c)
直線CNの式　y=-(b/(3c-a))x+2bc/(3c-a)
OA,BMの交点P(2a/3,2b/3)
OA,CNの交点Q(2a/3,2b/3)
P=Qなので3直線は1点で交わる

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■12942 / inTopicNo.4)

　ありがとうございました。

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□投稿者/ *由愛* 一般人(2回)-(2006/06/04(Sun) 19:42:18)

miyup様,はまだ様とっても早い回答ありがとうございました。

≪miyup様≫
これは数Ⅱのやり方なのですか？？
途中までは先生が書いてくださった解答なのですが・・・どうなのでしょう。
とても分かりやすかったです。
本当にありがとうございました。

≪はまだ様≫
各頂点ABCの座標をA(2a,2b)　B(-2c,0)　C(2c,0)　とおくと分数が少なくて済むのは気がつきませんでした。
助かりました。本当にありがとうございました。

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初めてここのサイトさんに来ましたが親切な方ばかりでとても気に入りました。
また質問に伺いに来るかもしれませんがそのときはまたよろしくお願いします。
本当にありがとうございました。

解決済み!

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■12943 / inTopicNo.5)

　ありがとうございました。

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□投稿者/ *由愛* 一般人(3回)-(2006/06/04(Sun) 19:55:28)

もう遅いかもしれませんが miyup様に質問です☆

直線ＯＣの方程式はどのようにして求めたのですか？？

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■12945 / inTopicNo.6)

　Re[4]: ありがとうございました。

▲▼■

□投稿者/ miyup ファミリー(158回)-(2006/06/04(Sun) 20:33:03)

2006/06/04(Sun) 21:19:57 編集(投稿者)

> もう遅いかもしれませんが miyup様に質問です☆
>
> 直線ＯＣの方程式はどのようにして求めたのですか？？
>

傾き $2$m$ で点 $2$(a,b)$ を通る直線の式は、 $2$y-b=m(x-a)$ です（高校での公式）

　OCの傾きは $2$m=\frac{\frac{b}{2}-0}{\frac{a}{2}-c}=\frac{b}{a-2c}$ 、これと点 $2$(c,0)$ を公式に代入するだけです。

$2$y=mx+n$ で解く方法は、中学校の数学の公式ですね。もちろんこれを使ってもＯＫです。

図形に座標を設定して直線等を考えるのは、数Ⅱだったと思います。

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■12950 / inTopicNo.7)

　ありがとうございました。

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□投稿者/ *由愛* 一般人(6回)-(2006/06/04(Sun) 21:25:18)

なるほど！！よくわかりました。
最後まで丁寧にお答えいただいて感謝しています。
今日は本当にありがとうございました。

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