数学ナビゲーター掲示板 [One Topic All View / Re[4]: 等比数列ｘ２ / Page: 0]

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■12896 / inTopicNo.1)

　等比数列ｘ２

□投稿者/ palm 一般人(1回)-(2006/06/04(Sun) 05:31:29)

試験に備えて勉強していた際にぶち当たってしまった２つの等比数列の問題についてお聞きしたく思います。

１．ある等比数列の、２番目の項が-40/3である。
　　この数列の項を無限に足してゆくと12になる。
　　この数列について、初項と比を求めよ。

２．ボールをある高さから床に落とすときっかり１秒かかった。
　　そのボールが次の新しい高さにまで跳ね上がるのに、0.9秒要した。
　　このようにして、ボールが最終的に止まるまで、ボールはいつも落としたときの0.9倍の時間をかけて跳ね上がるものとする。
　　このとき、
　　a)Sn（ｎ回目の動きまでにかかる時間？）を求めよ　
　　b)ボールが動きを止めるまでの時間を求めよ

どうも数学は苦手です。。。よろしくお願いします。
　　

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■12901 / inTopicNo.2)

　Re[1]: 等比数列ｘ２

▲▼■

□投稿者/ 平木慎一郎大御所(300回)-(2006/06/04(Sun) 10:53:05)

2006/06/04(Sun) 10:53:38 編集(投稿者)

■No12896に返信(palmさんの記事)
> 試験に備えて勉強していた際にぶち当たってしまった２つの等比数列の問題についてお聞きしたく思います。
>
> １．ある等比数列の、２番目の項が-40/3である。
> 　　この数列の項を無限に足してゆくと12になる。
> 　　この数列について、初項と比を求めよ。
比とは公比のことでしょうか？
$2$a_1=a,a=-\frac{{40}}{{3}}\times{\frac{{1}}{{r}}}$
より、 $2$r=-\frac{{40}}{{3a}}$ ただし|r|≦1
$2$\frac{{a}}{{1-r}}$ を利用して
方程式 $2$(a-20)(a+8)=0$ を得る。
>

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■12902 / inTopicNo.3)

　Re[1]: 等比数列ｘ２

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□投稿者/ 平木慎一郎大御所(301回)-(2006/06/04(Sun) 10:57:36)

> ２．ボールをある高さから床に落とすときっかり１秒かかった。
> 　　そのボールが次の新しい高さにまで跳ね上がるのに、0.9秒要した。
> 　　このようにして、ボールが最終的に止まるまで、ボールはいつも落としたときの0.9倍の時間をかけて跳ね上がるものとする。
> 　　このとき、
> 　　a)Sn（ｎ回目の動きまでにかかる時間？）を求めよ　
> 　　b)ボールが動きを止めるまでの時間を求めよ
>
> どうも数学は苦手です。。。よろしくお願いします。
これも同様な考え方で無限等比級数を利用してください。
必ず「0.9倍」なのですからわかりませんか？

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■12927 / inTopicNo.4)

　Re[2]: 等比数列ｘ２

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□投稿者/ palm 一般人(2回)-(2006/06/04(Sun) 17:22:12)

■No12902に返信(平木慎一郎さんの記事)
>>２．ボールをある高さから床に落とすときっかり１秒かかった。
>>　　そのボールが次の新しい高さにまで跳ね上がるのに、0.9秒要した。
>>　　このようにして、ボールが最終的に止まるまで、ボールはいつも落としたときの0.9倍の時間をかけて跳ね上がるものとする。
>>　　このとき、
>>　　a)Sn（ｎ回目の動きまでにかかる時間？）を求めよ　
>>　　b)ボールが動きを止めるまでの時間を求めよ

> これも同様な考え方で無限等比級数を利用してください。
> 必ず「0.9倍」なのですからわかりませんか？

お答えくださって有り難うございます。

しかし公比を0.9だとして無限等比級数の式を使うと、(aは初項、a=1)
Sn = a(1-0.9^n)/(1-0.9) = 10(1-0.9^n) となりますよね？
でも答えには 1+18(1-(0.9)^(n-1) とあるんです。どこがおかしいのか、自分では気付かれないのですが・・・。

考えたのですが、仮に初項を 1+0.9 だとすると、
Sn = 1+2(0.9)+2(0.9)^2+2(0.9)^3+...+2(0.9)^(n-1)+2(0.9)^n　となりますよね。
これから 0.9×Sn を引くと、1+0.9-(0.9)^n-(0.9)^(n+1) となり、
最終的に 1.9(1-(0.9)^n) という形になるように思うのですが、やっぱり答えと合いません。この解き方は間違いなのでしょうか？
アドヴァイスをお願いします。

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■12975 / inTopicNo.5)

　Re[3]: 等比数列ｘ２

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□投稿者/ palm 一般人(4回)-(2006/06/05(Mon) 01:16:58)

どなたか、教えていただけませんか？

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■12976 / inTopicNo.6)

　Re[4]: 等比数列ｘ２

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□投稿者/ らすかる大御所(374回)-(2006/06/05(Mon) 01:30:27)
http://www10.plala.or.jp/rascalhp

Snは「n回目のバウンドまでにかかる時間」ではないでしょうか。そう考えると
S1=1
Sn=1+2(0.9)+2(0.9)^2+…+2(0.9)^(n-1)
=1+18{1-0.9^(n-1)}
となりますね。

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■12977 / inTopicNo.7)

　Re[4]: 等比数列ｘ２

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□投稿者/ はまだ大御所(309回)-(2006/06/05(Mon) 01:31:12)

■No12975に返信(palmさんの記事)
Sn = 1+2(0.9)+2(0.9)^2+2(0.9)^3+...+2(0.9)^(n-1)
= -1+「2+2(0.9)+2(0.9)^2+2(0.9)^3+...+2(0.9)^(n-1)+2(0.9)^n」
＝-1+「初項2　公比0.9の第ｎ項までの和」＝-1+2(1-(0.9)^n)/（1-0.9）
＝-1+20-20(0.9)^n＝19-20*0.9*(0.9)^(n-1)＝1+18-18(0.9)^(n-1)＝答えの式

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■12978 / inTopicNo.8)

　Re[5]: 等比数列ｘ２

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□投稿者/ palm 一般人(7回)-(2006/06/05(Mon) 03:06:07)

嗚呼、やっとわかりました！
どうも皆さん有り難うございました！！！
これでテストも怖くない（？）です！

解決済み!

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