数学ナビゲーター掲示板 [One Topic All View / Re[8]: つっこみ / Page: 0]

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■12823 / inTopicNo.1)

　放物線と接円の話

□投稿者/ miyup 軍団(127回)-(2006/06/02(Fri) 14:15:57)

2006/06/02(Fri) 15:00:59 編集(投稿者)

No12811から

問　放物線 $2$y=px^2,p>0$ に３点で接する円は存在するか

次のように考えました。ご意見をお聞かせ下さい。

放物線に「２点以上で」円が接する(ただし「交点」はないとする)

　→円の中心は領域 $2$y>px^2$ にある

　→ｙ軸対称性より、円の中心はｙ軸上にあり、接点は「偶数個」または「点 $2$(0,0)$ を含む奇数個」ある

　→放物線に円が３点で接するとき、１点は $2$(0,0)$ になる

$2$c,r>0$ として、円 $2$x^2+(y-c)^2=r^2$ 、 $2$a>0$ として接点を $2$(a,pa^2)$ とおく

　半径＝中心～接点間の距離より　 $2$r^2=a^2+(pa^2-c)^2$ …①

　放物線の接線について、 $2$y=px^2$ より $2$y'=2px$ 。よって、 $2$x=a$ のとき傾き $2$y'=2pa$

　半径⊥接線より　 $2$2pa\cdot\frac{pa^2-c}{a-0}=-1$ 　 $2$2p(pa^2-c)=-1$ …②

さて、円が $2$(0,0)$ を通るとき、 $2$r^2=c^2$

①より $2$a^2+(pa^2-c)^2=c^2$

　 $2$a\neq 0$ より $2$c=\frac{1+p^2a^2}{2p}$

②へ代入 $2$2p(pa^2-\frac{1+p^2a^2}{2p})=-1$

　 $2$p^2a^2=0$ 　 $2$pa=0$ 　これは $2$p,a>0$ に反する

よって、この円は点 $2$(0,0)$ を通らない

すなわち、放物線 $2$y=px^2,p>0$ に３点で接する円は存在しない　終

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■12828 / inTopicNo.2)

　つっこみ

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□投稿者/ 白拓大御所(397回)-(2006/06/02(Fri) 18:35:31)

> 　→ｙ軸対称性より、円の中心はｙ軸上にあり、

は言えないと思います。

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■12831 / inTopicNo.3)

　Re[2]: つっこみ

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□投稿者/ miyup 軍団(128回)-(2006/06/02(Fri) 20:07:27)

2006/06/02(Fri) 21:14:15 編集(投稿者)

■No12828に返信(白拓さんの記事)
>>　→ｙ軸対称性より、円の中心はｙ軸上にあり、
>
> は言えないと思います。

その根拠はどのようなことでしょう？

私の考えは
「２点以上」接点が存在するときは、円の中心から接点までの距離を考えて
ｙ軸に関して対象に（左右に）接点ができているのではないか
ということです。

以前から気になっている問題なので、よろしくお願いします。

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■12836 / inTopicNo.4)

　Re[3]: つっこみ

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□投稿者/ 白拓大御所(399回)-(2006/06/02(Fri) 21:39:48)

> >>　→ｙ軸対称性より、円の中心はｙ軸上にあり、
> は言えないと思います。
>その根拠はどのようなことでしょう？

根拠として反例を挙げます。
y軸対称で「２点以上」接点が存在するとき、
例えば、解になる円が２つあり、それぞれ１つの円に関してｙ軸に関して
非対称に接点ができていても、合わせて２つの円全体で見たとき、
y軸対称ということもあり得ます。。

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■12837 / inTopicNo.5)

　Re[4]: つっこみ

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□投稿者/ miyup 軍団(131回)-(2006/06/02(Fri) 21:47:58)

2006/06/02(Fri) 21:50:22 編集(投稿者)

■No12836に返信(白拓さんの記事)
>>>>　→ｙ軸対称性より、円の中心はｙ軸上にあり、
>>は言えないと思います。
> >その根拠はどのようなことでしょう？
>
> 根拠として反例を挙げます。
> y軸対称で「２点以上」接点が存在するとき、
> 例えば、解になる円が２つあり、それぞれ１つの円に関してｙ軸に関して
> 非対称に接点ができていても、合わせて２つの円全体で見たとき、
> y軸対称ということもあり得ます。。

うーん

では、「１つの円で」という前提条件を問題に入れれば大丈夫ですか？

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■12838 / inTopicNo.6)

　Re[5]: つっこみ

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□投稿者/ 白拓大御所(400回)-(2006/06/02(Fri) 22:01:47)

＞「１つの円で」という前提条件を問題に入れれば大丈夫ですか？

2つ以上条件を満たす円が存在しないことを示す必要があります。

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■12840 / inTopicNo.7)

　Re[6]: つっこみ

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□投稿者/ miyup 軍団(132回)-(2006/06/02(Fri) 22:29:00)

■No12838に返信(白拓さんの記事)
> ＞「１つの円で」という前提条件を問題に入れれば大丈夫ですか？
>
> 2つ以上条件を満たす円が存在しないことを示す必要があります。

…それはまた何らかの方法を考えてみましょう。

では、「2つ以上条件を満たす円が存在しない」ことが「示された」として、
以下の論の進め方（図形の式の設定・途中計算・背理法の使い方）について、
おかしなところがあれば、指摘していただけないしょうか？

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■12841 / inTopicNo.8)

　Re[7]: つっこみ

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□投稿者/ 白拓大御所(401回)-(2006/06/02(Fri) 22:45:08)

2006/06/02(Fri) 22:47:46 編集(投稿者)

条件を満たす円が一つ（または奇数個）存在することがないことの証明としてはそれでいいと思います。

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■12842 / inTopicNo.9)

　Re[8]: つっこみ

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□投稿者/ miyup 軍団(133回)-(2006/06/02(Fri) 22:50:14)

2006/06/02(Fri) 22:51:44 編集(投稿者)

■No12841に返信(白拓さんの記事)
> 条件を満たす円が一つ（または奇数個）存在することがないことの証明としてはそれでいいと思います。

わかりました。

これで、この問題のかなりの部分について、解決に近づいたという感触を持てました。

白拓さん、長々とおつきあいいただき、ありがとうございました。

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