数学ナビゲーター掲示板 [One Topic All View / Re[1]: 三角形の性質 / Page: 0]

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■12702 / inTopicNo.1)

　三角形の性質

□投稿者/ kokesi 一般人(1回)-(2006/05/29(Mon) 20:17:31)

ＡＢ≠ＡＣである△ＡＢＣにおいて、辺ＢＣの中心をＭ、∠Ａの二等分線と辺ＢＣの交点をＤとする。Ｃから直線ＡＤに垂直ＣＰを引き、ＣＰと直線ＡＭの交点Ｑとすると、ＱＤ//ＡＣであることを証明せよ。　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　お願いします。　　

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■12705 / inTopicNo.2)

　Re[1]: 三角形の性質

▲▼■

□投稿者/ miyup 軍団(100回)-(2006/05/29(Mon) 21:37:09)

2006/05/29(Mon) 21:38:57 編集(投稿者)

■No12702に返信(kokesiさんの記事)
> ＡＢ≠ＡＣである△ＡＢＣにおいて、辺ＢＣの中心をＭ、∠Ａの二等分線と辺ＢＣの交点をＤとする。Ｃから直線ＡＤに垂直ＣＰを引き、ＣＰと直線ＡＭの交点Ｑとすると、ＱＤ//ＡＣであることを証明せよ。

$2$\vec{AB}=\vec{b}$ $2$\vec{AC}=\vec{c}$ とおく。便宜上 $2$AB=k(>0,k\neq 1),AC=1$ とおいても一般性を失わない。

$2$\vec{AM}=\frac{1}{2}(\vec{b}+\vec{c})$ $2$\vec{AD}=\frac{1}{k+1}(\vec{b}+k\vec{c})$ で

$2$\vec{AQ}=l\vec{AM}=\frac{1}{2}l(\vec{b}+\vec{c})$ とおくと、

$2$\vec{CQ}=\vec{AQ}-\vec{AC}=\frac{1}{2}l\vec{b}+(\frac{1}{2}l-1)\vec{c}$ で

ＣＱ⊥ＡＤより、 $2$\vec{CQ}\cdot\vec{AD}=0$ 　　途中略　　 $2$(\frac{1}{2}lk+\frac{1}{2}l-1)(k+\vec{b}\cdot\vec{c})=0$

$2$\vec{b}\cdot\vec{c}=k\cdot 1\cdot\cos BAC\neq -k$ より、 $2$\frac{1}{2}lk+\frac{1}{2}l-1=0$ すなわち $2$l=\frac{2}{k+1}$

よって、 $2$\vec{QD}=\vec{AD}-\vec{AQ}= \cdots =\frac{k-1}{k+1}\vec{c}=\frac{k-1}{k+1}\vec{AC}$ で

∴ＱＤ//ＡＣ

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