数学ナビゲーター掲示板 [One Topic All View / Re[2]: 極限値の証明です。 / Page: 0]

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■12615 / inTopicNo.1)

　極限値の証明です。

□投稿者/ コウ一般人(25回)-(2006/05/27(Sat) 23:06:29)

(1) [{f(x)}^n]' = n{f(x)}^(n-1)f'(x) (nは整数)
(2) f(x)=f(-x) ならば、 f'(x)=-f'(-x)　である．
(3) f(x)=-f(-x) ならば、 f'(x)=f'(-x) である．

という証明問題なのですが･･･手の付け方が分かりません。
ヒントをどなたかお願いしますm(_ _)m

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■12616 / inTopicNo.2)

　Re[1]: 極限値の証明です。

▲▼■

□投稿者/ miyup 付き人(94回)-(2006/05/27(Sat) 23:19:13)

■No12615に返信(コウさんの記事)
> (1) [{f(x)}^n]' = n{f(x)}^(n-1)f'(x) (nは整数)
> (2) f(x)=f(-x) ならば、 f'(x)=-f'(-x)　である．
> (3) f(x)=-f(-x) ならば、 f'(x)=f'(-x) である．
>

導関数の定義 $2$f'(x)=\lim_{h\rightarrow 0}\frac{f(x+h)-f(x)}{h}$ で全て証明できます。

(1) は定義に従って計算すれば右辺になります。
または、合成関数の微分法を使って良いのなら $2$f(x)=u, y=u^n$ とおいて $2$\frac{dy}{dx}=\frac{dy}{du}\cdot\frac{du}{dx}$ を使えますね。

(2)(3) 定義に従って、 $2$f'(-x)$ の計算をしてください。（途中で条件式を使います）

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■12634 / inTopicNo.3)

　Re[1]: 極限値の証明です。

▲▼■

□投稿者/ 平木慎一郎大御所(281回)-(2006/05/28(Sun) 11:46:12)

■No12615に返信(コウさんの記事)
> (1) [{f(x)}^n]' = n{f(x)}^(n-1)f'(x) (nは整数)
数学的帰納法による：
n=1のとき成り立つことから
n=k,k+1のとき（k+1のとき）
$2$(f(x)^{k+1})'=(k+1)f(x)^kf'(x)$
$2$(f(x)^k)'f(x)+f(x)^kf'(x)=kf(x)^kf'(x)+f(x)^kf'(x)$
両辺から $2$f(x)^kf'(x)$ を引いて両辺をf(x)割れば
示すべき式が現れます。

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■12794 / inTopicNo.4)

　Re[2]: 極限値の証明です。

▲▼■

□投稿者/ コウ一般人(26回)-(2006/06/01(Thu) 17:20:28)

ありがとうございました。
できました。

解決済み!

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