数学ナビゲーター掲示板 [One Topic All View / Re[1]: 微分法 / Page: 0]

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■12551 / inTopicNo.1)

　微分法

▼■

□投稿者/ マーブル一般人(1回)-(2006/05/26(Fri) 17:15:22)

３次方程式x^3-6x^2+1はただ一つの実数解をもつことを示せ。

詳しい解説をお願いします。

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■12554 / inTopicNo.2)

　Re[1]: 微分法

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□投稿者/ らすかる大御所(363回)-(2006/05/26(Fri) 18:15:55)
http://www10.plala.or.jp/rascalhp

f(x)=x^3-6x^2+1 とおくと
f(-1)=-6
f(0)=1
f(1)=-4
f(5)=-24
f(6)=1
なので、方程式 f(x)=0 は -1＜x＜0, 0＜x＜1, 5＜x＜6 の各区間に
それぞれ実数解を持ち、与えられた命題は成り立ちません。

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■12556 / inTopicNo.3)

　Re[1]: 微分法

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□投稿者/ 平木慎一郎大御所(269回)-(2006/05/26(Fri) 21:15:10)

■No12551に返信(マーブルさんの記事)
> ３次方程式x^3-6x^2+1はただ一つの実数解をもつことを示せ。
>
> 詳しい解説をお願いします。
普通且つ単純なやり方だと
=f(x)とおけばf'(x)は3x^2-12x=3x(x-4)
極大・極小値はそれぞれ1,-31です。
よって残念ながら
一つの実数解をもつことはありません。

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■12562 / inTopicNo.4)

　Re[1]: 微分法

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□投稿者/ 平木慎一郎大御所(272回)-(2006/05/26(Fri) 22:10:55)

2006/05/26(Fri) 22:17:21 編集(投稿者)
2006/05/26(Fri) 22:15:09 編集(投稿者)

■No12551に返信(マーブルさんの記事)
> ３次方程式x^3-6x^2+1はただ一つの実数解をもつことを示せ。
カルダノによる：
y=x-2とおくと
y^3-12y-15=0となります。y=a+bとおくと
a^3+b^3=-17,ab=4ですので、
分解方程式t^2+17t+64=0 $2$t=\frac{{-17\pm\sqrt{33}}}{{2}}$
より
$2$a=\sqrt[3]{\frac{{-17+\sqrt{33}}}{{2}}} b=\sqrt[3]{\frac{{-17-\sqrt{33}}}{{2}}}$ ですので
$2$y=\sqrt[3]{\frac{{-17+\sqrt{33}}}{{2}}}+\sqrt[3]{\frac{{-17-\sqrt{33}}}{{2}}}$ ただし虚数解も考えると $2$\omega=\frac{{-1+\sqrt{3}i}}{{2}}$
もそれぞれ一乗・二乗したものもa,bに掛けます。
x=y+2から解が得られました。

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