数学ナビゲーター掲示板 [One Topic All View / Re[1]: 微分の応用　面積の最大 / Page: 0]

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■12463 / inTopicNo.1)

　微分の応用　面積の最大

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□投稿者/ チョコミント一般人(1回)-(2006/05/22(Mon) 21:00:52)

長さ2ａの線分ＡＢを直径とする半円に内接する台形ＡＢＣＤの面積Ｓの最大値を求めよ。

台形の求め方がわかりません！！教えてください。

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■12464 / inTopicNo.2)

　Re[1]: 微分の応用　面積の最大

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□投稿者/ 白拓大御所(372回)-(2006/05/22(Mon) 22:13:02)

2006/05/23(Tue) 11:21:00 編集(投稿者)

＃（追記）四角形の場合の最大値は以下のようになります。

半円の中心をO、∠AOD=x,∠DOC=yとする
S=2a^2(1/2){sin(x/2)cos(x/2)+sin(y/2)cos(y/2)+sin((π-x-y)/2)cos((π-x-y)/2)}
=a^2(1/2){sin(x)+sin(y)+sin(π-x-y)}
{0<x,y,π-x-y<π sinθは0<θ<πで上に凸であるから、絶対不等式を使うと}
≦a^2(1/2){3*sin((x+y+(π-x-y))/3)}=3a^2sin(π/3)/2=3√3a^2/4　（等号成立はx=y=π/3）

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■12470 / inTopicNo.3)

　Re[2]: 微分の応用　面積の最大

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□投稿者/ 白拓大御所(373回)-(2006/05/23(Tue) 11:17:52)

失礼。「台形」でしたね
S=(2x+2a)×√(a^2-x^2)×1/2 (0<x<a)
Sが最大値のとき
S'=√(a^2-x^2)-x(x+a)/√(a^2-x^2)=0となるので
(a^2-x^2)=x(x+a)
(a-2x)(a+x)=0
∴x=a/2のとき最大値S=3√3a^2/4

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■12474 / inTopicNo.4)

　Re[3]: 微分の応用　面積の最大

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□投稿者/ 白拓大御所(376回)-(2006/05/23(Tue) 11:52:53)

四角形の場合も面積が最大値のとき台形になります。
また、この半円を２つ作り合わせて円にすると、中に正六角形ができます。

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■12503 / inTopicNo.5)

　Re[4]: 微分の応用　面積の最大

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□投稿者/ チョコミント一般人(2回)-(2006/05/24(Wed) 00:14:54)

わかりました！！
もう一度自分で解けるようにやってみます♪

親切に教えて下さってありがとうございますm(＿＿)m

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■12510 / inTopicNo.6)

　Re[1]: 微分の応用　面積の最大

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□投稿者/ poptop 一般人(1回)-(2006/05/24(Wed) 12:39:27)

2006/05/25(Thu) 08:02:09 編集(投稿者)

■No12463に返信(チョコミントさんの記事)
> 長さ2ａの線分ＡＢを直径とする半円に内接する台形ＡＢＣＤの面積Ｓの最大値を求めよ。
>
> 台形の求め方がわかりません！！教えてください。

ABの中点をOとして、∠AOD=θ（0＜θ＜π/2）とすると、
△AOD=(1/2)a^2×sinθ, △COD=(1/2)a^2×sin(π-2θ)=(1/2)a^2×sin(2θ)
よって、S=(1/2)a^2×sinθ×2+(1/2)a^2×sin(2θ)=a^2{sinθ+(1/2)sin(2θ)}
S'=a^2{cosθ+cos(2θ)}=a^2{cosθ+2(cosθ)^2-1}=a^2(2cosθ-1)(cosθ+1)
0＜θ＜π/2で、S'=0となるのは、θ=π/3
0＜θ≦π/3でS'は正だからSは増加、π/3≦θ＜π/2でS'は負だからSは減少。
よって、θ=π/3でSは最大となり、最大値は
a^2{sinπ/3+(1/2)sin(2π/3)}={(3√3)/4}a^2

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