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■12431 / inTopicNo.1)

　数学独学中

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□投稿者/ はつひので一般人(1回)-(2006/05/22(Mon) 05:11:40)

教えてください。
商の微分法の証明です。お願いします。

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■12432 / inTopicNo.2)

　Re[1]: 数学独学中

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□投稿者/ 平木慎一郎ベテラン(242回)-(2006/05/22(Mon) 05:16:32)

2006/05/22(Mon) 05:18:05 編集(投稿者)
2006/05/22(Mon) 05:17:33 編集(投稿者)
2006/05/22(Mon) 05:17:06 編集(投稿者)

■No12431に返信(はつひのでさんの記事)
> 教えてください。
> 商の微分法の証明です。お願いします。
積の微分法が使えるものとすると次のような少し変わった証明ができます。
$2$f(x)*\frac{{1}}{{f(x)}}$ を考え、
これを微分します。すると
$2$f(x)*\frac{{1}}{{f(x)}}=f'(x)*\frac{{1}}{{f(x)}}+f(x)*(\frac{{1}}{{f(x)}})'$
これから
$2$(\frac{{1}}{{f(x)}})'=-\frac{{f'(x)}}{{(f(x))^2$
となります。

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■12434 / inTopicNo.3)

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□投稿者/ soredeha 一般人(9回)-(2006/05/22(Mon) 12:06:46)

{f(x)-f(a)}/(x-a)＝α(x)　とおくと　f(x)＝(x-a)α(x)＋f(a)　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　lim[x→a]α(x)＝f '(a) ----(a)
{g(x)-g(a)}/(x-a)＝β(x)　とおくと　g(x)＝(x-a)β(x)＋g(a)、
　　　　　　　　　　　　　　　　　　lim[x→a]β(x)＝g '(a) ----(b)
f(x)/g(x)-f(a)/g(a)＝{f(x)g(a)-f(a)g(x)}/{g(a)g(x)}
＝{[(x-a)α(x)＋f(a)]g(a)-f(a)[(x-a)β(x)＋g(a)]}/{g(a)g(x)}
＝{(x-a)α(x)g(a)-f(a)(x-a)β(x)}/{g(a)g(x)}
＝(x-a){α(x)g(a)-f(a)β(x)}/{g(a)g(x)}
(a)(b)　より　h(x)＝f(x)/g(x) とすると
h '(a)＝{f '(a)g(a)-f(a)g '(a)}/{g(a)g(a)}
h '(x)＝{f '(x)g(x)-f(x)g '(x)}/{g(x)}^2

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■12436 / inTopicNo.4)

　Re[1]: 数学独学中

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□投稿者/ らすかる大御所(361回)-(2006/05/22(Mon) 13:01:50)
http://www10.plala.or.jp/rascalhp

0=〔g(x)・{1/g(x)}〕'=g'(x)・{1/g(x)}+g(x)・{1/g(x)}'
これより {1/g(x)}'=-g'(x)/{g(x)}^2
以上はほぼ平木慎一郎さんの回答のコピペ
そして
{f(x)/g(x)}'=〔f(x)・{1/g(x)}〕'
=f'(x)・{1/g(x)}+f(x)・{1/g(x)}'
=f'(x)/g(x)-f(x)g'(x)/{g(x)}^2
={f'(x)g(x)-f(x)g'(x)}/{g(x)}^2

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■12440 / inTopicNo.5)

　Re[2]: 数学独学中

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□投稿者/ はつひので一般人(2回)-(2006/05/22(Mon) 15:34:50)

みなさまどうもありがとうございました。

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■12460 / inTopicNo.6)

　Re[3]: 数学独学中

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□投稿者/ 白拓大御所(371回)-(2006/05/22(Mon) 19:14:51)

y=f(x)/g(x) ｛f(x)をf,g(x)をgと略記する｝
→g*y=f
→g'y+gy'=f'
∴y'=(f'-g'y)/g=(f'-g'(f/g))/g=(f'g-fg')/g^2

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