数学ナビゲーター掲示板 [One Topic All View / Re[6]: 数学的帰納法 / Page: 0]

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■12368 / inTopicNo.1)

　数学的帰納法

□投稿者/ チアガール♪ 一般人(1回)-(2006/05/20(Sat) 20:09:55)

数学的帰納法の問題の練習をしていて
1+1/√2＋1/√3＋・・・+1/√ｎ＜2√ｎ
という不等式を証明したいんですけど、
ｎ＝ｎ＋１のときを考えるところから
どのように進めていけばいいのか分かりません！
どのように書き進めていけばいいのか教えてください！

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■12369 / inTopicNo.2)

　Re[1]: 数学的帰納法

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□投稿者/ X 大御所(447回)-(2006/05/20(Sat) 20:16:56)

n=kのときの成立を仮定していますので
1+1/√2＋1/√3＋・・・+1/√k＜2√k
∴(1+1/√2＋1/√3＋・・・+1/√k)+1/√(k+1)＜2√k+1/√(k+1)
よって
2√k+1/√(k+1)＜2√(k+1)
が証明できれば問題の不等式はn=k+1のときにも成立することが証明できます。

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■12370 / inTopicNo.3)

　Re[2]: 数学的帰納法

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□投稿者/ チアガール♪ 一般人(2回)-(2006/05/20(Sat) 20:56:08)

えっと、2√k+1/√(k+1)＜2√(k+1)の大小は計算してみればいいということですか？

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■12375 / inTopicNo.4)

　Re[3]: 数学的帰納法

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□投稿者/ X 大御所(448回)-(2006/05/20(Sat) 23:52:21)

その通りですよ。

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■12410 / inTopicNo.5)

　Re[4]: 数学的帰納法

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□投稿者/ チアガール♪ 一般人(3回)-(2006/05/21(Sun) 15:57:56)

もう一個あります！
実数X1,X2,X3,....,Xn...の絶対値が１より小さいとき、不等式
X1X2X3.....X(n-1)Xn+(ｎー１)＞X1＋X2＋X3....＋Xn（ｎ≧2）
を証明せよ。というものです。
これもｎ＝1のときを考えていくのですか？
もしそうなら右辺＝X1、左辺＝X1
とすればいいのでしょうか？？

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■12414 / inTopicNo.6)

　Re[5]: 数学的帰納法

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□投稿者/ Ｎ一般人(20回)-(2006/05/21(Sun) 17:01:37)

n≧２が条件なので、始まりはｎ＝２の時からですよ。

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■12416 / inTopicNo.7)

　Re[6]: 数学的帰納法

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□投稿者/ Ｎ一般人(21回)-(2006/05/21(Sun) 17:15:34)

ちなみに、
X1X2X3.....X(n-1)Xn+(ｎー１)＞X1＋X2＋X3....＋Xn
で、ｎ＝ｋの時、
X1X2X3.....X(k-1)Xk+(kー１)＞X1＋X2＋X3....＋Xkが成立するとして、
n=k+1を考える時、
X1X2X3.....X(k-1)XkX(k+1)+k＞X1＋X2＋X3....＋Xk+X(k+1)
は、
X1X2X3.....X(k-1)XkX(k+1)+k＞X1X2X3.....X(k-1)Xk+X(k+1)+k-1
と
X1X2X3.....X(k-1)Xk+X(k+1)+k-1＞X1＋X2＋X3....＋Xk+X(k+1)
の二段階証明をお勧めしますね。

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