数学ナビゲーター掲示板 [One Topic All View / Re[2]: yokokara shiturei / Page: 0]

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■12362 / inTopicNo.1)

　質問させてもらいます

▼■

□投稿者/ 紅鮭一般人(9回)-(2006/05/20(Sat) 18:43:20)

本でガンマ関数と言うのを知りました。
しかし導き方がなくて困っています。
調べてもよくわからず難しかったのでどなたか説明お願いしたいです。

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■12363 / inTopicNo.2)

　Re[1]: 質問させてもらいます

▲▼■

□投稿者/ 平木慎一郎ベテラン(234回)-(2006/05/20(Sat) 18:57:38)

2006/05/20(Sat) 18:59:43 編集(投稿者)

■No12362に返信(紅鮭さんの記事)
> 本でガンマ関数と言うのを知りました。
> しかし導き方がなくて困っています。
> 調べてもよくわからず難しかったのでどなたか説明お願いしたいです。
いろいろな導き方があるのですが、
では $2$\displaystyle\int_0^\infty{\left({e^{-ax}}\right)dx}$
という積分を考えてみましょう。
この値を求めると
$2$\displaystyle\int_0^\infty{\left({e^{-ax}}\right)dx=\frac{{1}}{{a}}$
となります。
ではこの両辺をaで微分してみてください。すると
$2$\frac{{d}}{{da}}\frac{{1}}{{a}}=\displaystyle\int_0^\infty{\frac{{d}}{{da}}\left({e^{-ax}}\right)dx}$
計算して
$2$-\frac{{1}}{{a^2}}=-\displaystyle\int_0^\infty{\left({xe^{-ax}}\right)dx}$
$2$\frac{{1}}{{a^2}}=\displaystyle\int_0^\infty{\left({xe^{-ax}}\right)dx}$
この作業を数回繰り返してみてください。
すると帰納的に
$2$(n-1)!a^{-n}=\displaystyle\int_0^\infty{\left({x^{n-1}e^{-ax}}\right)dx}$
となり、ここでa=1とおけば
$2$(n-1)!=\displaystyle\int_0^\infty{\left({x^{n-1}e^{-x}}\right)dx}$
となります。
一般のガンマ関数ならnのところがtで左辺がΓ(t)となっていると
思います。

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■12364 / inTopicNo.3)

　Re[2]: 質問させてもらいます

▲▼■

□投稿者/ 紅鮭一般人(10回)-(2006/05/20(Sat) 19:01:22)

■No12363に返信(平木慎一郎さんの記事)
> 2006/05/20(Sat) 18:59:43 編集(投稿者)
>
> ■No12362に返信(紅鮭さんの記事)
>>本でガンマ関数と言うのを知りました。
>>しかし導き方がなくて困っています。
>>調べてもよくわからず難しかったのでどなたか説明お願いしたいです。
> いろいろな導き方があるのですが、
> では $2$\displaystyle\int_0^\infty{\left({e^{-ax}}\right)dx}$
> という積分を考えてみましょう。
> この値を求めると
> $2$\displaystyle\int_0^\infty{\left({e^{-ax}}\right)dx=\frac{{1}}{{a}}$
> となります。
> ではこの両辺をaで微分してみてください。すると
> $2$\frac{{d}}{{da}}\frac{{1}}{{a}}=\displaystyle\int_0^\infty{\frac{{d}}{{da}}\left({e^{-ax}}\right)dx}$
> 計算して
> $2$-\frac{{1}}{{a^2}}=-\displaystyle\int_0^\infty{\left({xe^{-ax}}\right)dx}$
> $2$\frac{{1}}{{a^2}}=\displaystyle\int_0^\infty{\left({xe^{-ax}}\right)dx}$
> この作業を数回繰り返してみてください。
> すると帰納的に
> $2$(n-1)!a^{-n}=\displaystyle\int_0^\infty{\left({x^{n-1}e^{-ax}}\right)dx}$
> となり、ここでa=1とおけば
> $2$(n-1)!=\displaystyle\int_0^\infty{\left({x^{n-1}e^{-x}}\right)dx}$
> となります。
> 一般のガンマ関数ならnのところがtで左辺がΓ(t)となっていると
> 思います。
>
ほんと詳しい説明ありがとうございます。
理解できすぎて感動しました。
ほんとうに感謝です。

解決済み!

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■12382 / inTopicNo.4)

　Re[3]: 質問させてもらいます

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□投稿者/ 紅鮭一般人(11回)-(2006/05/21(Sun) 12:19:38)

すみません、もう一度質問させていただきます。
ずっと考えていて思ったんですがこの関数は収束するんですか？
（積分区間が無限大なので。証明の仕方がわかりません。）
迷惑かけます。

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■12383 / inTopicNo.5)

　Re[4]: 質問させてもらいます

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□投稿者/ 平木慎一郎ベテラン(235回)-(2006/05/21(Sun) 12:24:50)

■No12382に返信(紅鮭さんの記事)
> すみません、もう一度質問させていただきます。
> ずっと考えていて思ったんですがこの関数は収束するんですか？
> （積分区間が無限大なので。証明の仕方がわかりません。）
> 迷惑かけます。
もちろん「ガンマ関数」と数学であるのですから収束するという
証明はできます。
では簡単にヒントだけ。
まず、Γ(t+1)=tΓ(t)(t>0)を示してみてください。
(これは部分積分で！)

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■12430 / inTopicNo.6)

　Re[5]: 質問させてもらいます

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□投稿者/ 紅鮭一般人(12回)-(2006/05/22(Mon) 05:10:05)

■No12383に返信(平木慎一郎さんの記事)
> ■No12382に返信(紅鮭さんの記事)
>>すみません、もう一度質問させていただきます。
>>ずっと考えていて思ったんですがこの関数は収束するんですか？
>>（積分区間が無限大なので。証明の仕方がわかりません。）
>>迷惑かけます。
> もちろん「ガンマ関数」と数学であるのですから収束するという
> 証明はできます。
> では簡単にヒントだけ。
> まず、Γ(t+1)=tΓ(t)(t>0)を示してみてください。
> (これは部分積分で！)
>
申し訳ないのですがこの証明がわかりません。
それからこの証明ができた後、一体どうすればいいのでしょうか？

引用返信/返信 [メール受信/OFF] 削除キー/

■12433 / inTopicNo.7)

　Re[6]: 質問させてもらいます

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□投稿者/ 平木慎一郎ベテラン(243回)-(2006/05/22(Mon) 05:20:01)

■No12430に返信(紅鮭さんの記事)
> ■No12383に返信(平木慎一郎さんの記事)
>>■No12382に返信(紅鮭さんの記事)
> >>すみません、もう一度質問させていただきます。
> >>ずっと考えていて思ったんですがこの関数は収束するんですか？
> >>（積分区間が無限大なので。証明の仕方がわかりません。）
> >>迷惑かけます。
>>もちろん「ガンマ関数」と数学であるのですから収束するという
>>証明はできます。
>>では簡単にヒントだけ。
>>まず、Γ(t+1)=tΓ(t)(t>0)を示してみてください。
>>(これは部分積分で！)
>>
> 申し訳ないのですがこの証明がわかりません。
> それからこの証明ができた後、一体どうすればいいのでしょうか？
tΓ(t)とできる項の前にまた別の項があるはずです。それが収束することを
示してください。（e^xの部分がありますが、そこは級数展開を利用します）

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■12437 / inTopicNo.8)

　yokokara shiturei

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□投稿者/ soredeha 一般人(10回)-(2006/05/22(Mon) 13:30:10)

Γ(t)＝∫[0,∞]x^(t-1)e^(-x)dx
＝∫[0,1]x^(t-1)e^(-x)dx＋∫[1,∞]x^(t-1)e^(-x)dx

∫[0,1]x^(t-1)e^(-x)dx について
|x^(t-1)e^(-x)|≦x^(t-1)
t＞0　だから右辺の積分は収束する。∫[ε,1]x^(t-1)dx＝[(1/t)x^t](ε,1)
定理より∫[0,1]x^(t-1)e^(-x)dxも収束します。

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■12439 / inTopicNo.9)

　Re[2]: yokokara shiturei

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□投稿者/ 平木慎一郎ベテラン(244回)-(2006/05/22(Mon) 15:33:17)

■No12437に返信(soredehaさんの記事)
> Γ(t)＝∫[0,∞]x^(t-1)e^(-x)dx
> ＝∫[0,1]x^(t-1)e^(-x)dx＋∫[1,∞]x^(t-1)e^(-x)dx
>
> ∫[0,1]x^(t-1)e^(-x)dx について
> |x^(t-1)e^(-x)|≦x^(t-1)
> t＞0　だから右辺の積分は収束する。∫[ε,1]x^(t-1)dx＝[(1/t)x^t](ε,1)
> 定理より∫[0,1]x^(t-1)e^(-x)dxも収束します。
紅鮭さん、とまあこんな感じです。

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