数学ナビゲーター掲示板 [One Topic All View / Re[1]: ２項定理 / Page: 0]

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■12310 / inTopicNo.1)

　２項定理

□投稿者/ 鬼灯一般人(6回)-(2006/05/19(Fri) 20:47:14)

2006/05/19(Fri) 20:49:47 編集(投稿者)
2006/05/19(Fri) 20:48:26 編集(投稿者)

次の式の値を求めよ。
$2$ \left( {\begin{array} n\\ 0\\ \end{array}} \right)$ - $2$\frac{1}{2}$ $2$\left( {\begin{array} n\\ 1\\ \end{array}} \right)$ + $2$\frac{1}{3}$ $2$ \left( {\begin{array} n\\ 2\\ \end{array}} \right)$ -…+ $2$(-1)^n$ $2$\frac{1}{{n+1}}$ $2$ \left( {\begin{array} n\\ n\\ \end{array}} \right)$

見にくいかもしれませんがよろしくお願いします。

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■12325 / inTopicNo.2)

　Re[1]: ２項定理

▲▼■

□投稿者/ はまだ大御所(279回)-(2006/05/20(Sat) 00:37:02)

■No12310に返信(鬼灯さんの記事)
(1-x)^n＝nC0-nC1x+nC2x^2-・・・+(-1)^n*nCnx^n
両辺を0～1までxで積分すると

1/(n+1)=nC0-1/2*nC1+1/3*nC2-・・・

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■12327 / inTopicNo.3)

　Re[1]: ２項定理

▲▼■

□投稿者/ soredeha 一般人(7回)-(2006/05/20(Sat) 07:23:37)

一般項＝(-1)^r 1/(r+1) nCr＝(-1)^r・1/(r+1)・n(n-1)・・・(n-r+1)/r!
＝(-1)^r・n(n-1)・・・(n-r+1)/(r+1)!
＝(-1)^r・1/(n+1)・(n+1)n(n-1)・・・(n-r+1)/(r+1)!
＝(-1)^r・1/(n+1)・(n+1)C(r+1)
＝1/(n+1)・(-1)^r・(n+1)C(r+1)　( r＝0,1,2,・・・,n)
与式＝1/(n+1){(n+1)C1-(n+1)C2＋(n+1)C3-・・・＋(-1)^n・(n+1)C(n+1)}
＝1/(n+1){(n+1)C1-(n+1)C2＋(n+1)C3＋・・・＋(-1)^n・(n+1)C(n+1)}
＝1/(n+1){(n+1)C0-(n+1)C0＋(n+1)C1-(n+1)C2＋(n+1)C3-・・・＋(-1)^n・(n+1)C(n+1)}
＝1/(n+1){(n+1)C0-[(n+1)C0-(n+1)C1＋(n+1)C2-(n+1)C3＋・・・＋(-1)^(n+1)・(n+1)C(n+1)]}
＝1/(n+1){(n+1)C0-(1-1)^(n+1)}＝1/(n+1){1 - 0^(n+1)}＝1/(n+1)

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