数学ナビゲーター掲示板 [One Topic All View / Re[7]: 定積分と不等式 / Page: 0]

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■12296 / inTopicNo.1)

　定積分と不等式

□投稿者/ ぱぺっと☆まぺっと一般人(44回)-(2006/05/19(Fri) 17:54:03)

（1）log1+log2+...+lognと∫[1→n]logxdxの大小を比較せよ。
（2）任意の自然数nに対して、不等式{(log1+log2+...+logn)/n}-logn+1>0が成り立つことを示せ。

ともに難しいです＞＜
やさしくおしえてください！！
おねがいします！！

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■12297 / inTopicNo.2)

　Re[1]: 定積分と不等式

▲▼■

□投稿者/ 平木慎一郎ベテラン(226回)-(2006/05/19(Fri) 18:03:17)

2006/05/19(Fri) 18:03:55 編集(投稿者)

■No12296に返信(ぱぺっと☆まぺっとさんの記事)
> （1）log1+log2+...+lognと∫[1→n]logxdxの大小を比較せよ。
> （2）任意の自然数nに対して、不等式{(log1+log2+...+logn)/n}-logn+1>0が成り立つことを示せ。
>
> ともに難しいです＞＜
> やさしくおしえてください！！
> おねがいします！！
質問されるのはとてもよいことだと思います。
失礼な発言ではありますが、
ぱぺっと☆まぺっとさんは一度にたくさんの質問をされています。
当然わからなくなってここに質問されに
来られているのだと思いますが
もう少しじっくりと自分で考えてみて
本当にわからなくなったとき改めて質問されると
いいと思います。
（つまり、なんでもかんでも質問すればいいと
いうものではないと思うのです。
あまり気にしないでくださいね。
ただぱぺっと☆まぺっとさんのことを考えると・・)

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■12300 / inTopicNo.3)

　Re[1]: 定積分と不等式

▲▼■

□投稿者/ 白拓大御所(359回)-(2006/05/19(Fri) 18:50:08)

　平木慎一郎さんの仰るようにじっくり考えましょう。
ぱぺっと☆まぺっとさんの貪欲な知識欲には恐れ入ります（笑）。
私も見習いたいものです。
いくらでも質問していいですよ。

> （1）log1+log2+...+lognと∫[1→n]logxdxの大小を比較せよ。

(x>0のとき)　(logx)'=1/x >0より単調増加
よって、
log(k)>∫[k-1→k]logxdx
→log2+...+logn>∫[1→n]logxdx
→log1+log2+...+logn>∫[1→n]logxdx

> （2）任意の自然数nに対して、不等式{(log1+log2+...+logn)/n}-logn+1>0が成り立つことを示せ。

(1)より
log1+log2+...+logn>∫[1→n]logxdx={xlogx-x}[1→n]=nlogn-n+1
→{(log1+log2+...+logn)/n}>logn-1+(1/n)>logn-1
∴{(log1+log2+...+logn)/n}-logn+1>0

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■12349 / inTopicNo.4)

　Re[2]: 定積分と不等式

▲▼■

□投稿者/ ぱ一般人(9回)-(2006/05/20(Sat) 16:12:06)

ごめんなさい！！＞＜
この前質問したときにちょっと多すぎかなって思ったけど
やっぱり多すぎましたね＞＜
すみませんでした！！
自分でもっとよく考えてからどうしても分からなかったら聞くようにします！！

それでこの質問で聞きたいところがあるのですが（←また質問ですみません＞＜

> （1）log1+log2+...+lognと∫[1→n]logxdxの大小を比較せよ。

>(x>0のとき)　(logx)'=1/x >0より単調増加
>よって、
>log(k)>∫[k-1→k]logxdx
　
この一番下のところ、∫[1→n]logxdxが∫[k-1→k]logxdxに変わっているんですが
どうしてこのような変化ができるのでしょうか？
教えてもらえませんか？
おねがいします！！

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■12350 / inTopicNo.5)

　Re[3]: 定積分と不等式

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□投稿者/ ぱぺっと☆まぺっと一般人(45回)-(2006/05/20(Sat) 16:14:08)

すみません、クッキーで名前入れたはずなのに
先頭の文字だけしか残ってませんでした・・
てか同じ名前の人がいてますけど、別人なので誤解しないでください＞＜

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■12374 / inTopicNo.6)

　Re[4]: 定積分と不等式

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□投稿者/ 白拓大御所(367回)-(2006/05/20(Sat) 23:24:19)

kは1≦k≦nの整数です。
log(k)>∫[k-1→k]logxdx
log1+log2+...+logn=Σ[k=2→n]logk>Σ[k=2→n]∫[k-1→k]logxdx=∫[1→n]logxdx

ということです。

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■12399 / inTopicNo.7)

　Re[5]: 定積分と不等式

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□投稿者/ ぱぺっと☆まぺっと一般人(46回)-(2006/05/21(Sun) 14:11:23)

ありがとうございました！！
すみません！！
＞Σ[k=2→n]logk>Σ[k=2→n]∫[k-1→k]logxdx=∫[1→n]logxdx
ここがちょっと分かりません！！
大事なところなのにすいません！
これはどういうことなんでしょうか？
おねがいします！！

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■12402 / inTopicNo.8)

　Re[6]: 定積分と不等式

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□投稿者/ 白拓大御所(368回)-(2006/05/21(Sun) 14:35:07)

> ＞Σ[k=2→n]logk>Σ[k=2→n]∫[k-1→k]logxdx=∫[1→n]logxdx

log(k)>∫[k-1→k]logxdx (1≦k≦n)…(1)

a>b,c>d→a+c>b+c>b+d　∴a+c>b+d を利用して
k=2～nまで（1）の不等式の両辺を足しあわすと

Σ[k=2→n]logk>Σ[k=2→n]∫[k-1→k]logxdx

∫[a→b]f(x)dx+∫[b→c]f(x)dx={F(b)-F(a)}+{F(c)-F(b)}=F(c)-F(a)=∫[a→c]f(x)dx
∴∫[a→b]f(x)dx+∫[b→c]f(x)dx=∫[a→c]f(x)dx を利用すると、
Σ[k=2→n]∫[k-1→k]logxdx=∫[1→n]logxdx

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■12458 / inTopicNo.9)

　Re[7]: 定積分と不等式

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□投稿者/ ぱぺっと☆まぺっと一般人(47回)-(2006/05/22(Mon) 18:34:29)

なるほど！！
ありがとうございました！！
理解できました！！

解決済み!

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