 | 点Rを線分PQを2:1に内分する点として解きます。
条件より
↑OP=↑OA+(t/AB)↑AB ①
(0≦t≦1) ②
↑OQ=↑OC+(u/CD)↑CD ③
(0≦u≦1) ④
↑OR=(↑OP+2↑OQ)/3 ⑤
となります。
①③を⑤へ代入して
↑OR=(↑OA+2↑OC)/3+(t↑AB+2u↑CD)/3
=(↑OA+2↑OC)/3+{(t/3)↑AB+(2u/3)↑CD} ⑥
又②④より
0≦t/3+2u/3≦1 ⑦
従って線分ACを2:1に内分する点をTとすると点Rは
↑TU=↑AB
↑TV=↑CD
なる点U、Vと点Tとを頂点とする△TUVの周及び内部にあることが判ります。
よって求める面積をS,↑AB,↑CDのなす角をθとすると
S=(1/2)AB・CDsinθ ⑧
↑AB・↑CD=AB・CDcosθ ⑨
ここでA(2,1,2),B(2,4,5),C(3,0,1),D(0,3,1)ゆえ
↑AB=(0,3,3)
↑CD=(-3,3,0)
これらを⑧⑨に代入してS,θについての連立方程式を立てて解き、Sを求めます。
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