 | 2006/05/05(Fri) 15:43:34 編集(投稿者)
■No11603に返信(カスピさんの記事)
> 次の問題の解き方を教えてください。
> 不等式x^2+y^2≦1の表す領域全体が不等式(y-tx+2t)(y-x+t-1)≧0の表す領域に含まれるような実数tの値の範囲を求めよ。
(y-tx+2t)(y-x+t-1)≧0
より
y≧t(x-2)
y≧x-t+1
又は
y≦t(x-2)
y≦x-t+1
従って条件を満たすためには
直線
y=t(x-2) (A)
y=x-t+1 (B)
がいずれも
円
x^2+y^2=1 (C)
の
(i)上側にある
(ii)下側にある
のいずれかであればよいことになります。
ここで(C)の中心である原点と、直線との間の距離をL1,L2とすると(i)(ii)いずれの場合についても
L1=|2t|/√(t^2+1)≧1 (D)
L2=|1-t|/√2≧1 (E)
(D)より
t≦-1/√3,1/√3≦t
(E)より
t≦1-√2,1+√2≦t
∴t≦-1/√3,1+√2≦t (F)
よって直線(A)が点(2,0)を通ることと、直線の傾きが1であることに注意する（図を描きましょう）と
(i)のとき
(D)(E)、つまり(F)を考慮に入れると、直線(A)の傾きが負であり、かつ(B)のy切片が正であればよいので
t<0 (G)
-t+1>0 (H)
これらと(F)を連立させて
t≦-1/√3
(ii)のとき
(i)と同様に考えると、直線(A)の傾きが正であり、かつ(B)のy切片が負であればよいので
t>0 (I)
-t+1<0 (J)
これらと(F)を連立させて
1+√2≦t
以上から、求めるtの値の範囲は
t≦-1/√3,1+√2≦t
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