 | ∫[1→2]dx/(4x^2-1)
=∫[1→2]dx/{(2x-1)(2x+1)}
=∫[1→2](1/2){{(2x+1)-(2x-1)}/{(2x-1)(2x+1)}}dx
=∫[1→2](1/2){1/(2x-1)-1/(2x+1)}dx
(被積分関数である1/(4x^2-1)を分母を因数分解し、更に部分分数分解して
1/(xの１次式) の和
の形にしています。
この部分分数に分解する計算が分かり難ければ、
1/{(2x-1)(2x+1)}=a/(2x-1)+b/(2x+1)
と置いてa,bを求めましょう。)
=(1/2)∫[1→2]{1/(2x-1)-1/(2x+1)}dx (A)
=(1/2)[(1/2)log(2x-1)-(1/2)log(2x+1)][1→2] (B)
=(1/2){(1/2)log3-(1/2)log5+(1/2)log3}
=(1/2)log3-(1/4)log5
注）
(A)から(B)の式変形ですが、以下の定理と見比べてみて下さい。
一般に
∫f(x)dx=F(x)+C (C:積分定数)
のとき
∫f(ax+b)dx=(1/a)F(ax+b)+C (C:積分定数)
（これは証明無しで使っても問題ないと思います。）
但し、上のような方法でなくても
(1/2)∫[1→2]{1/(2x-1)-1/(2x+1)}dx
=(1/2)∫[1→2]dx/(2x-1)-(1/2)∫[1→2]dx/(2x+1)
と分けて、第一項は2x-1=t,第二項は2x+1=uと置いて置換積分すれば計算はできます（少し煩雑ですが）。
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