 | 2006/05/02(Tue) 12:47:19 編集(投稿者)
1/{(2z+1)z^3}
=b/(2z+1)+(cz^2+dz+e)/z^3
と部分分数分解できるとすると
b/(2z+1)+(cz^2+dz+e)/z^3
={bz^3+(2z+1)(cz^2+dz+e)}/{(2z+1)z^3}
={(b+2c)z^3+(c+2d)z^2+(d+2e)z+e}/{(2z+1)z^3}
となるから、分子の係数を比較して
2c+b=c+2d=e+2e=0
e=1
∴(b,c,d,e)=(-8,4,-2,1)
∴1/{(2z+1)z^3}=-8/(2z+1)+4/z-2/z^2+1/z^3
よって問題の積分の被積分関数は
z=0,-1/2
を極に持つことが分かります。
後はaの値によって、積分路である円
|z-i|=a
の内部にこれらの極を含まれるか否かで場合分けします。
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