 | 2006/04/29(Sat) 14:47:45 編集(投稿者)
■No11405に返信(あさみさんの記事)
> 平行四辺形ＡＢＣＤ内の任意の点Ｐを通る辺ＡＢ、ＡＤにの平行な２直線を引き、ＢＣ、ＣＤ，ＤＡ，ＡＢとの交点をそれぞれＬ，Ｋ，Ｍ，Ｈとするとき, ＡＰ，ＢＫ，ＬＤは１点で交わることを証明する。
ベクトルABを(AB)、ベクトルbを~bであらわす。
BKとDLの交点T、(AD)=~d , (AB)=~b , (AM)=m~d , (AH)=l~b
BT : TK = t : 1-t , LT : TD = 1-s : s とする。
(AT)=t(AK)+(1-t)(AB)= t{(AD)+(DK)}+(1-t)(AB)
= t(~d+l~b)+(1-t)~b = (tl-t+1)~b+t~d
同様に
(AT)=(ms-s+1)~d +s~b
係数を比べて
tl- t+1= s ∴ l=(s+t-1)/t
ms-s+1=t ∴ m=(s+t-1)/s
∴ (AT)= (s+t-1+1-t)~b+t~d=s~b+t~d
ところで
(AP)=l~b+m~d={(s+t-1)/t}~b+{(s+t-1)/s}~d= {(s+t-1)/st}(s~b+t~d)
∴ (AT)=k(AP)：kは実数
よってAP,BK,LDは1点で交わる。
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