 | ■No11245に返信(bigriverさんの記事)
> 実数a,bに対して、３次方程式
> x^3+ax^2+bx+1=0
> が一つの実数解と２つの虚数解α、α^2をもつとき、a,bの値を求めよ。
>
> という問題です。どなたかお解りでしょうか？
まず、
「実数を係数とする方程式f(x)＝0 が虚数解をもつとき、
その複素数に共役な複素数も解である」
ことから一方の虚数解を s-ti (iは虚数単位) とおけばもう一方の解は
s+ti と表すことが出来ます。
今、仮定より虚数解はα、α^2ですから、(s-ti)^2＝s+ti となることが分かります
このことからsとtを求めることができ、s＝-1/2,t＝√3/2となります
さて、この２つの解(省略してα、α^2と表記します)と実数解(βとおく)で
(x-α)(x-α^2)(x-β)＝x^3+ax^2+bx+1
がxに関して恒等的に成り立つようにすればいいので
左辺を展開し、右辺との係数を比べることで
a＝2,b＝2
が得られます。
また、(出題されてはいませんが)実数解は-1となることが分かります
確かに最終的にx^3+2x^2+2x+1＝0を解くとx＝-1/2+√3/2,-1/2-√3/2,-1
となります。
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