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■11241 / inTopicNo.1)

　積分です

□投稿者/ ichiro 一般人(1回)-(2006/04/22(Sat) 17:38:57)

nを0以上の整数とする。a(n)=∫[0～π/2]sin^n xdxについて次の問題に答えよ
a(n)は第n項のことです。例えば１の場合、初項のこと）
(1)a(0),a(1)を求めよ
(2)n≧2において、sin^n x=(sin^n-1 x)(sinx)=(sin^n-1 x)(-cosx)'を用いてa(n)　を部分積分で計算し、a(n)とa(n-2)の関係式を求めよ。
(3)n≧2において、a(n)を求めよ。

という問題です。なるべく詳しく御願いします。

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■11252 / inTopicNo.2)

　Re[1]: 積分です

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□投稿者/ はまだファミリー(185回)-(2006/04/23(Sun) 00:47:24)

■No11241に返信(ichiroさんの記事)

積分範囲は省略します。
(1)a(0)＝∫1dx=π/2,a(1)＝∫sinxdx=1

(2)n≧2において、
a(n)=∫sin^n x=[(sin^(n-1) x)(-cosx)]-∫(n-1)sin^(n-2)x*cosx*(-cosx)dx
=(n-1)∫sin^(n-2)x(1-sin^2x)dx=(n-1)(a(n-2)-a(n))

na(n)=(n-1)a(n-2)
a(n)=(n-1)/n*a(n-2)

(3)n=偶数のとき　a(n)=(n-1)/n*(n-3)/(n-2)*・・・*1/2*a(0)
　　n=奇数　　　　a(n)=(n-1)/n*(n-3)/(n-2)*・・・*2/3*a(1)

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■11368 / inTopicNo.3)

　Re[2]: 積分です

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□投稿者/ ichiro 一般人(2回)-(2006/04/25(Tue) 21:48:17)

> (3)n=偶数のとき　a(n)=(n-1)/n*(n-3)/(n-2)*・・・*1/2*a(0)
> 　　n=奇数　　　　a(n)=(n-1)/n*(n-3)/(n-2)*・・・*2/3*a(1)

解説有難うございます。これになる理由がわかりません。(n-3)/(n-2)とは何のことですか？

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■11379 / inTopicNo.4)

　Re[3]: 積分です

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□投稿者/ はまだファミリー(197回)-(2006/04/26(Wed) 00:36:04)

■No11368に返信(ichiroさんの記事)
a[n]=(n-1)/n*a[n-2]　n=8だと

a[8]=7/8*a[6]
a[6]=5/6*a[4]
a[4]=3/4*a[2]
a[2]=1/2*a[0]

∴a[8]=7/8*5/6*3/4*1/2*a[0]

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■11381 / inTopicNo.5)

　Re[4]: 積分です

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□投稿者/ ichiro 一般人(3回)-(2006/04/26(Wed) 01:31:46)

■No11379に返信(はまださんの記事)
> ■No11368に返信(ichiroさんの記事)
> a[n]=(n-1)/n*a[n-2]　n=8だと
>
> a[8]=7/8*a[6]
> a[6]=5/6*a[4]
> a[4]=3/4*a[2]
> a[2]=1/2*a[0]
>
> ∴a[8]=7/8*5/6*3/4*1/2*a[0]

わかりました。ありがとうございます

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