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■10926 / inTopicNo.1) 　合同式
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□投稿者/ あきら 一般人(1回)-(2006/04/09(Sun) 23:52:55)
    任意の整数nに対し、n^9-n^3は9で割り切れることを合同式を用いて示せ。

    わかりませんお願いします
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■10930 / inTopicNo.2) 　Re[1]: 合同式
□投稿者/ もってぃ 一般人(2回)-(2006/04/10(Mon) 00:31:33)
    ■No10926に返信(あきらさんの記事)
    > 任意の整数nに対し、n^9-n^3は9で割り切れることを合同式を用いて示せ。
    >
    > わかりませんお願いします


    本来、合同式は高校の範囲を超えております。しかし、知っておくと非常に便利です。以下、合同式の重要な性質をおさらいしておきましょう。


    a≡m(mod n)ならば（0≦m<nとします。つまりは、aをnで割ったあまりがmであるということ。）

    a^k≡m^k(mod n)…★

    ★式の証明はa=pn+mとして、a^kを実際に二項定理で展開することによって、行われます。つまりはa^k、m^kともに、nで割ったあまりが等しくなるということです。

    いま、n^9-n^3のあまりを調べたいわけですが、★式の性質を使えば、aを9で割ったあまりが何になるのかで場合分けして、（つまり、a≡0,1,2,3,4,5,6,7,8(mod 9)での9通りの場合分け）で全ての自然数nに対してn^9-n-3の値のmod 9、すなわち、9で割ったあまりを調べられるわけです。

    では、実際にn≡8(mod 9)での計算例をお見せします。
    n≡8(mod 9)のとき
    n^9≡8^9≡64*8^7=(7*9+1)*8^7≡1*8^7=8^7≡64*8^5≡(63+1)*8^5≡8^5…≡8(mod 9)
    一方
    n^3≡8^3≡64*8≡1*8≡8
    よって、n^9-n^3≡8-8≡0
    だから、割り切れる。

    以上のように全ての場合を調べ尽くせば9の倍数であることがわかります。
    上の計算例にも示したとおり、9で割り切れる数が合同式の中に出てきたら、すぐに9で割ることがとても重要です。これを使えることが、合同式のとても大きなメリットとなります。
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■10931 / inTopicNo.3) 　Re[1]: 合同式
□投稿者/ はまだ 軍団(133回)-(2006/04/10(Mon) 00:36:02)
    ■No10926に返信(あきらさんの記事)
    mod9で
    (計算例、n≡7のとき,n^2≡49≡4、n^3≡49*7≡4*7=28≡1）
    n　≡0,1,2,3,4,5,6,7,8,に対して
    n^3≡0,1,8,0,1,8,0,1,8　（つまり、n^3を9で割った余りは0,1,8のどれか）

    n^9-n^3＝n^3(n^3-1)(n^3+1)
    n^3≡0のとき、0*(-1)*1=0
    n^3≡1のとき、1*0*2=0
    n^3≡8のとき、8*7*9≡8*7*0=0

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