 | ■No10814に返信(あさみさんの記事)
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> (x+y)/(a-b)=(y+z)/(b-c)=(z+x)/(c-a)=k のとき
> １．xyz/{(a-b)(b-c)(c-a)}をkで表せ
> ２．(xy+yz+zx)/{(a-b)^2+(b-c)^2+(c-a)^2}
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> x+y=(a-b)k とそれぞれおいて
3つの式を加えると x+y+z=0 となります。
x+y=-z,y+z=-x,z+x=-yを代入して
-z/(a-b)=k,-x/(b-c)=k,-y/(c-a)=k これらを掛け合わせると
xyz/{(a-b)(b-c)(c-a)}＝-k^3
x+y=(a-b)k ・・・の両辺を2乗して
x^2+2xy+y^2=(a-b)^2k^2
y^2+2yz+z^2=(b-c)^2k^2
z^2+2zx+x^2=(c-a)^2k^2
加えて
2(x^2+y^2+z^2)+2(xy+yz+zx)={(a-b)^2+(b-c)^2+(c-a)^2}k^2
左辺＝2(x+y+z)^2-2(xy+yz+zx)
x+y+z=0より
-2(xy+yz+zx)＝{(a-b)^2+(b-c)^2+(c-a)^2}k^2
(xy+yz+zx)/{(a-b)^2+(b-c)^2+(c-a)^2}＝-k^2/2
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