数学ナビゲーター掲示板 [One Topic All View / Re[1]: 点と直線の距離 / Page: 0]

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■1077 / inTopicNo.1)

　点と直線の距離

□投稿者/ Ｓ山口一般人(21回)-(2005/06/04(Sat) 22:27:59)

直線 l:ax+by+c=0とこの直線外の点P(x_1,y_1)がある。
Pからlにおろした垂線の足をHとするとき、

PH=|ax_1+by_1+c|/√{a^(2)+b^(2)}

であることを示せ。

この問題の答えへの導き方が（証明問題？）分かりません。
御願いします。

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■1099 / inTopicNo.2)

　Re[1]: 点と直線の距離

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□投稿者/ tobira 一般人(4回)-(2005/06/05(Sun) 16:29:49)

(^^;教科書等に載っていると思うのですが)
いろいろな方法があるので、とりあえず一例です

H(x_0，y_0)、P(x_1，y_1)として、２点間の距離を求める
　※PH＝√{(x_1－x_0)^2＋(y_1－y_0)^2}
その際に、PH⊥l、Hはl上の点という２つの条件を使う

条件から
　Ⅰ　PH⊥l　より、
　　b(x_1－x_0)＝a(y_1－y_0)
　Ⅱ　Hはl上の点であり、ax_0＋ｂx_0＋c＝0　より
　　a(x_1－x_0)＋b(y_1－y_0)＝ax_1＋ｂx_1＋c

ⅠⅡを解いて、(x_1－x_0)、(y_1－y_0)を求める
　x_1－x_0＝a(ax_0＋ｂx_0＋c)/{(a^2)＋(b^2)}
　y_1－y_0＝b(ax_0＋ｂx_0＋c)/{(a^2)＋(b^2)}

よって
　PH＝|ax_1＋by_1＋c|/√{(a^2)+(b^2)}

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■1109 / inTopicNo.3)

　Re[2]: 点と直線の距離

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□投稿者/ Ｓ山口一般人(23回)-(2005/06/06(Mon) 03:18:03)

レス有難うございます。
ちょっと分からないところが出てきました（汗

＞条件から
＞　Ⅰ　PH⊥l　より、
＞　　b(x_1－x_0)＝a(y_1－y_0)
どうして、xの距離にyの係数のbをかけて
yの距離にxの係数をかけるんですか？
垂線の特徴なんでしょうか？　よく分からないです（汗

＞　Ⅱ　Hはl上の点であり、ax_0＋ｂx_0＋c＝0　より
＞　　a(x_1－x_0)＋b(y_1－y_0)＝ax_1＋ｂx_1＋c
Ｈがｌ上の点だとax_0＋ｂx_0＋c＝0というのが分からないです
ｂx_0のところはby_0ではないのかと疑問です。
下の式もどこから来ているのか、よく分かりません（汗

質問ばかりですいません。
御願いします。

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■1110 / inTopicNo.4)

　Re[3]: 点と直線の距離

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□投稿者/ no name 一般人(5回)-(2005/06/06(Mon) 04:44:42)

■No1109に返信(Ｓ山口さんの記事)
> レス有難うございます。
> ちょっと分からないところが出てきました（汗
> > ＞条件から
> ＞　Ⅰ　PH⊥l　より、
> ＞　　b(x_1－x_0)＝a(y_1－y_0)
> どうして、xの距離にyの係数のbをかけて
> yの距離にxの係数をかけるんですか？
> 垂線の特徴なんでしょうか？　よく分からないです（汗

直線の直交条件は傾きの積が -1 になることです。それをちょっと書き換えると上のような式が現れます。

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■1118 / inTopicNo.5)

　Re[3]: 点と直線の距離

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□投稿者/ tobira 一般人(5回)-(2005/06/06(Mon) 16:45:58)

2005/06/06(Mon) 16:47:50 編集(投稿者)

■No1109に返信(Ｓ山口さんの記事)
(^^;説明不足ですみません。m(__)m記入ミスも…
no nameさんフォローありがとうございます。

Ⅰ　no nameさんの御指摘の通り
「直線の直交条件は傾きの積が－1 になること」を使っています。
　　PHの傾き、(y_1－y_0)/(x_1－x_0)
　　lの傾き、－b/a
　傾きの積が－1 になるので
　　{(y_1－y_0)/(x_1－x_0)}＊(－b/a)＝－1
　両辺に、a(x_1－x_0)をかけて、
　　－b(y_1－y_0)＝－a(x_1－x_0)
　整理して、
　　a(x_1－x_0)＝b(y_1－y_0)

Ⅱ　ご指摘の通り
　「bx_0のところはby_0」です。混乱させてすみません。
　ax＋by＋c＝0 に、(x_0，y_0)を代入した。という部分です。

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■1139 / inTopicNo.6)

　Re[4]: 点と直線の距離

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□投稿者/ Ｓ山口一般人(24回)-(2005/06/08(Wed) 21:05:02)

親切に有難うございました。

もうちっと↓の部分の右辺を教えてもらいたいんですが

　Ⅱ　Hはl上の点であり、ax_0＋ｂy_0＋c＝0　より
　　a(x_1－x_0)＋b(y_1－y_0)＝ax_1＋ｂy_1＋c

ここの式が左辺は分かるんですけど、右辺はどこから来てるのか
分かりません。

元の式はax_0＋ｂy_0＋c=0ですよね？
右辺がどうしてそうなるのかわかんないです。

もしよければ教えてください。御願いします。

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■1151 / inTopicNo.7)

　Re[5]: 点と直線の距離

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□投稿者/ tobira 一般人(6回)-(2005/06/09(Thu) 00:44:05)

■No1139に返信(Ｓ山口さんの記事)
　Ⅱ　Hはl上の点であり、ax_0＋bx_0＋c＝0　より

＊２点間の距離を求めるために必要な(x_1－x_0),(x_1－x_0)を
　求めることを目的とした式の変形をしました。

　ax_0＋bx_0＋c＝0
　　両辺を入れかえた後、両辺に(ax_1＋bx_1)を加える
　0＝ax_0＋bx_0＋c＝0
　0＋(ax_1＋bx_1)＝ax_0＋bx_0＋c＋(ax_1＋bx_1)
　　右辺の(ax_0＋bx_0)を左辺に移項し整理する
　ax_1－ax_0＋bx_1－bx_0＝ax_1＋bx_1＋c
　　左辺を、a,bで部分的にくくる
　a(x_1－x_0)＋b(x_1－x_0)＝ax_1＋ｂx_1＋c

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■1177 / inTopicNo.8)

　Re[6]: 点と直線の距離

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□投稿者/ Ｓ山口一般人(25回)-(2005/06/10(Fri) 23:31:42)

有難うございました。

順々に聞いててて申し訳ないんですが

＞ⅠⅡを解いて、(x_1－x_0)、(y_1－y_0)を求める
＞　x_1－x_0＝a(ax_0＋ｂx_0＋c)/{(a^2)＋(b^2)}
＞　y_1－y_0＝b(ax_0＋ｂx_0＋c)/{(a^2)＋(b^2)}

ここの計算方法が分かりません。
ⅠをⅡに代入して計算しても上のような答えになりません。
もっと別の発想で計算するのかな・・（汗

あと
＞　PHの傾き、(y_1－y_0)/(x_1－x_0)
＞　lの傾き、－b/a

lの傾きは-a/bだと思うんですがどうなんでしょうか。
それによってその後の計算が変わってくるので聞かせてもらいました。

レス1151に出てくるbxは全部byですよね？
前に尋ねたのでそこを頭の中で変えて読んでいました。

＞　ax_0＋bx_0＋c＝0
＞　両辺を入れかえた後、両辺に(ax_1＋bx_1)を加える

これを加えるのは何の公式なんでしょうか。
突然現れたように感じられて・・（汗

ちょっと頭がパンク気味なのかも知れません。
すいません、質問が多いですが、できればお願いします。

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■1187 / inTopicNo.9)

　Re[7]: 点と直線の距離

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□投稿者/ tobira 一般人(7回)-(2005/06/11(Sat) 02:33:17)

ご迷惑をおかけします。
　ミスと説明不足が多すぎるので初めからやり直しました。

Ⅰ 直線 l:ax＋by＋c＝0 の傾き　－a/b
　　直線 PH の傾き　(y_1－y_0)/(x_1－x_0)
　PH⊥l　より、{(y_1－y_0)/(x_1－x_0)}＊(－b/a)＝－1
　　両辺に　b(x_1－x_0)をかけて、左辺に項を集める。
　よって、
　　b(x_1－x_0)－a(y_1－y_0)＝0

Ⅱ Hは直線 l:ax＋by＋c＝0上の点であるので、(x_0，y_0)を代入し
　　ax_0＋by_0＋c＝0
　＊２点間の距離を求めるために必要な(x_1－x_0),(x_1－x_0)を
　＊作り出すことを目的とした式の変形です。
　両辺に(ax_1＋by_1)を加える。
　　(ax_1＋by_1)＋ax_0＋by_0＋c＝0＋(ax_1＋by_1)
　右辺のax_0＋by_0を左辺に移項
　　ax_1＋by_1＋c＝(ax_1＋by_1)－(ax_0＋by_0)
　右辺をa，bでまとめる
　　ax_1＋by_1＋c＝a(x_1－x_0)＋b(y_1－by_0)
　よって、
　　a(x_1－x_0)＋b(y_1－by_0)＝ax_1＋by_1＋c

Ⅲ (x_1－x_0)、(y_1－y_0)をⅠⅡの連立方程式より求める
　Ⅰ＊b＋Ⅱ＊a　より
　　(a^2)(x_1－x_0)＋(b^2)(x_1－x_0)＝(ax_1＋by_1＋c)
　　{(a^2)＋(b^2)}(x_1－x_0)＝a(ax_1＋by_1＋c)
　　(x_1－x_0)＝a(ax_1＋by_1＋c)/{(a^2)＋(b^2)}
　Ⅱ＊b－Ⅰ＊a　より
　　(a^2)(y_1－y_0)＋(b^2)(y_1－y_0)＝ax_1＋by_1＋c
　　{(a^2)＋(b^2)}(y_1－y_0)＝b(ax_1＋by_1＋c)
　　(y_1－y_0)＝b(ax_1＋by_1＋c)/{(a^2)＋(b^2)}

Ⅳ ２点間の距離の公式より
　　PH＝√{(x_1－x_0)^2＋(y_1－y_0)^2}
　Ⅲの結果より
　　(x_1－x_0)^2＝{(a^2)(ax_1＋by_1＋c)^2}/[{(a^2)＋(b^2)}^2]
　　(y_1－y_0)^2＝{(b^2)(ax_1＋by_1＋c)^2}/[{(a^2)＋(b^2)}^2]
　さらに、
　　(x_1－x_0)^2＋(y_1－y_0)^2
　　＝{(a^2)＋(b^2)}(ax_1＋by_1＋c)/[{(a^2)＋(b^2)}^2]
　　……{(a^2)＋(b^2)}で約分
　　＝{(ax_1＋by_1＋c)^2}/{(a^2)＋(b^2)}
　よって
　　PH＝|ax_1＋by_1＋c|/√{(a^2)+(b^2)}

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■1195 / inTopicNo.10)

　Re[1]: 点と直線の距離

▲▼■

□投稿者/ Ｓ山口一般人(26回)-(2005/06/12(Sun) 02:33:46)

親切に教えてくださって有難うございました。
やや分かり気味といったところです（汗
でも一生懸命教えてくれたので、嬉しかったです
有難うございました。

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