 | ■No10585に返信(はちべえさんの記事)
Arcsinxの微分は(1-x^2)^(-1/2)
テイラー展開の公式
などは知っているが、f',f",・・・が複雑でわかりにくい
というご質問と推察し回答します。
(1-x^2)^(-1/2)をどんどん微分してこうとすると、積の微分がゴチャゴチャしてきます。このようなときはg(t)=(1-t)^(-1/2)とおき、
（1）g(t)をテイラー展開
（2）t=x^2を代入
（3）両辺を積分
の道筋が計算しやすいと思います。
g'(t)=(1/2)(1-t)^(-3/2)
g"(t)=(1/2)(3/2)(1-t)^(-5/2)
g'''(t)=(1/2)(3/2)(5/2)(1-t)^(-7/2)
より
g(t)=1+1/(2*1!)t+(1*3)/(2^2*2!)t^2+(1*3*5)/(2^3*3!)t^3・・・
(1-x^2)^(-1/2)=1+1/(2*1!)x^2+(1*3)/(2^2*2!)x^4+(1*3*5)/(2^3*3!)x^6・・・
両辺を積分して
Arcsinx=x+1/(2*3)x^3+(1*3)/(2^2*2!*5)x^5+(1*3*5)/(2^3*3!*7)x^7・・・
+(1*3*・・*(2n-1))/(2^n*n!*(2n+1))x^(2n+1)
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