 | (1)x^3+ax^2+bx+c=0
正の有理数解xをx=n/mとおき、代入すると、
(n/m)^3+a(n/m)^2+b(n/m)+c=0
→n^3+an^2m+bnm^2+cm^3=0
n^3=m(-an^2-bnm-cm^2)
-an^2-bnm-cm^2は整数であり、n,mは１以外の公約数をもたないので
m=1 ∴x=n/m=n
同様に負の有理数解をもつときx=-n/mとおき、m=1, x=-nを得る。
よって、与方程式が有理数の解をもつならば、その解は整数である
(2) (1)でa=2,b=0,c=2とするとx^3+2x^2+2=0となる。
→x^2(x+2)=-2
解が有理数であると仮定すると、(1)より、解は整数である。
x^2*(x+2)=-2
x^2,x+2は整数である。(x^2,x+2)=(1,-2),(-1,2),(-2,1),(2,1)
のいずれにも該当する整数xは存在しない。
よって、与方程式は有理数の解をもたない。
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