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■23170 / inTopicNo.1)  変域が変わる関数の最大・最小
  
□投稿者/ そばわんこ 一般人(24回)-(2007/03/24(Sat) 05:05:04)
    (P203 ●68)
    とする。関数の区間-1≦x≦1における最小値を求めよ。

    表も作り、グラフも書いてで極大値で極小値までは出て分からなくなり、
    解説を見たのですが「最小値とaの動き方の関係」が良くわかりませんでした。

    解説ではの時など条件を分けて書かれてましたが、なぜそうなるのかすらわかりませんでした。
    どなたかよろしかったら解説よろしくお願いします。
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■23173 / inTopicNo.2)  Re[1]: 変域が変わる関数の最大・最小
□投稿者/ X 軍団(108回)-(2007/03/24(Sat) 10:04:14)
    模範解答と異なるかも知れませんが、考え方を回答しておきます。

    -1≦x≦1 (A)
    とします。
    まず(A)に極小値を取るxの値
    x=a (B)
    が含まれるか否か、で場合分けします。
    又、
    極大値を取るxの値
    x=-a (C)
    と(B)がx=0に関して対称になっていること

    変域(A)がx=0に関して対称になっていること
    に注意します。

    i)(A)に(B)が含まれないとき
    この場合のaの条件は、(B)が(A)の範囲外右側になりますので
    1<a
    このとき、上記の対称性から(C)も(A)の範囲外左側にありますので
    結局この場合の(A)におけるf(x)は単調減少になります。
    よって
    最小値はf(1)=1-3a^2+2a^3

    ii)(A)に(B)が含まれるとき
    この場合のaの条件は、(B)が(A)の範囲内になりますので
    -1≦a≦1 (D)
    このときも上記の対称性から(C)も(A)の範囲内にありますので
    (A)におけるy=f(x)のグラフは三次関数特有のN型になります。
    よって最小値はf(a),f(-1)のうちの小さいほうになることが分かります。
    ここで
    I)f(a)が最小値であるようなaの範囲は
    f(a)≦f(-1) (E)
    なるaの不等式を解いて(D)との共通範囲を取れば求められます。
    f(x)=x^3+a^3+a^3-3(a^2)x=(x+a+a)(x^2+a^2+a^2-ax-ax-a^2)
    =(x+2a)(x-a)^2
    に注意すると
    (E)より
    0≦(2a-1)(a+1)^2
    ∴1/2≦a
    ∴(D)より
    1/2≦a≦1
    逆に
    II)f(-1)が最小値であるようなaの範囲は
    f(-1)<f(a) (F)
    なるaの不等式を解いて(D)との共通範囲を取れば求められますね。
    検算はしていませんが、
    -1≦a<1/2
    となると思います。

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■23174 / inTopicNo.3)  Re[2]: 変域が変わる関数の最大・最小
□投稿者/ miyup 大御所(1130回)-(2007/03/24(Sat) 10:21:25)
    2007/03/24(Sat) 14:03:34 編集(投稿者)

    参考までにグラフ( pdf です)を示します。
    青い点が x=a の点、ピンクの線が最小値を表します。
    a を小さくしていくと、最小値を取るポイントが変わっていきます。

    元の3次関数はy切片(点)対称で、f'(x)=0 のとき x=±a、定義域 -1≦x≦1 より
    最小値は f(1)、f(a)、f(-1) のどれかになります。
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■23189 / inTopicNo.4)  Re[3]: 変域が変わる関数の最大・最小
□投稿者/ そばわんこ 一般人(25回)-(2007/03/25(Sun) 00:15:20)
    miyupさん、Xさん丁寧な返信本当にありがとうございます!!
    丁寧なグラフと解説のおかげで分かりました、一つずつ整理して考えていくと分かりますね!!

解決済み!
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■25097 / inTopicNo.5)  (削除)
□投稿者/ -(2007/05/23(Wed) 01:13:47)
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