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■50544 / 親階層)  フェルマーの最終定理の証明
□投稿者/ 日高 一般人(2回)-(2020/11/14(Sat) 09:36:45)
    【定理】n≧3のとき、x^n+y^n=z^nは自然数解x,y,zを持たない。
    【証明】x^n+y^n=z^nを、z=x+rとおいてx^n+y^n=(x+r)^n…(1)とする。
    (1)をr^(n-1){(y/r)^n-1}=an{x^(n-1)+…+r^(n-2)x}(1/a)…(2)と変形する。
    (2)はa=1、r^(n-1)=nのとき、x^n+y^n=(x+n^{1/(n-1)})^n…(3)となる。
    (2)はa=1以外、r^(n-1)=anのとき、x^n+y^n=(x+(an)^{1/(n-1)})^n…(4)となる。
    (3)はrが無理数なので、有理数解を持たない。(4)の解は(3)の解のa^{1/(n-1)}倍となる。
    ∴n≧3のとき、x^n+y^n=z^nは自然数解x,y,zを持たない。

    【定理】n=2のとき、x^n+y^n=z^nは自然数解x,y,zを持つ。
    【証明】x^2+y^2=z^2を、z=x+rとおいてx^2+y^2=(x+r)^2…(1)とする。
    (1)をr{(y/r)^2-1}=a2x(1/a)…(2)と変形する。
    (2)はa=1、r=2のとき、x^2+y^2=(x+2)^2…(3)となる。
    (2)はa=1以外、r=a2のとき、x^2+y^2=(x+a2)^2…(4)となる。
    (3)はrが有理数なので、有理数解を持つ。(4)の解は(3)の解のa倍となる。
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