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■50033 / 1階層)  三次関数と長方形
□投稿者/ らすかる 一般人(23回)-(2019/09/07(Sat) 19:52:26)
    線分OA上にない2頂点をP(p,p^3),Q(q,q^3)(0<p<q)とすると
    直線PQの傾きが1であることから(q^3-p^3)/(q-p)=p^2+pq+q^2=1
    これをqについて解くとq={-p+√(4-3p^2)}/2(∵q>0)
    Pから線分OAに下した垂線の長さは(p-p^3)/√2、
    PQの長さは(q-p)√2なので
    長方形の面積は
    (p-p^3)(q-p)=(p-p^3)({-p+√(4-3p^2)}/2-p)
    =(p-p^3){√(4-3p^2)-3p}/2
    f(p)=(p-p^3){√(4-3p^2)-3p}とおくと
    f'(p)={2(6p^4-9p^2+2)-6p(1-2p^2)√(4-3p^2)}/√(4-3p^2)
    面積が最大のときf'(p)=0すなわち
    2(6p^4-9p^2+2)-6p(1-2p^2)√(4-3p^2)=0
    整理して
    36p^8-90p^6+69p^4-18p^2+1=0
    0<p<1/√3の範囲でこれを解くと
    p=√{90-6√33-6√(90-6√33)}/12
    これを面積の式に代入して整理すると
    (面積の最大値)=√(138-22√33)/24

    # 人力で解くのは大変だと思いますが、自作問題ですか?

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