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■47712 / 親階層)  極限の計算 定数乗? について教えてください。
□投稿者/ トーテム 一般人(1回)-(2016/07/15(Fri) 11:56:44)
    次の問題の解答を見た時、極限の使い方に疑問を覚え質問をさせていただきました。

    α、βは定数とする。
    極限
    lim[n→∞]{(1^α+2^α+・・・+n^α)^(β+1)}/{(1^β+2^β+・・・+n^β)^(α+1)}

    解答

    分子、分母を n^(α+1)(β+1)で割れば

    分子は
    {(1^α+2^α+・・・+n^α)/n^(α+1)}^(β+1)
    となり
    { }の中の極限は1/(α+1) @
    したがって分子の極限は
    1/(α+1)^(β+1) A

    ・・・ 続く

    以上が問題と解答の一部です。

    お伺いしたいのは、@からAへとなるときの^(β+1)の扱いなどについてです。
    累乗の部分の扱いといえばよいのでしょうか、自分でも上手く言葉にできないのですが、

    lim[n→∞]{(1^α+2^α+・・・+n^α)^(β+1)} B
    を求めるときに

    lim[n→∞](1^α+2^α+・・・+n^α) C
    の極限がわかれば、(Cの極限)^(β+1)がBの極限である。ただ(β+1)乗をつければ良いということがよくわからないでいます。

    またBでlim[n→∞]{(1^α+2^α+・・・+n^α)^(β+1)}
    となっているのを
    {lim[n→∞](1^α+2^α+・・・+n^α)}^(β+1) と考えるようなものだと思うのですが
    lim[n→∞]{ } の{ } の範囲、limの及ぼす範囲などがよくわからなくなってしまいました。

    参考書などで、極限の性質(公式)など調べたのですが、定数倍や、和、積、商などの性質については載っていたのですが、上記のようなことの記述を見つけること、気がつくことができませんでした。

    (@を区分求積法をつかって求めることは理解しているつもりです。)
    この問題は高校レベル(だと思います)の参考書からです。
    基本的なことかもしれませんが、詳しく教えていただけるとありがたいです。
    よろしくお願いいたします。
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