数学ナビゲーター掲示板 [One Topic All View / Re[2]: 数列について。 / Page: 0]

数学ナビゲーター掲示板
(現在過去ログ5 を表示中)

[ 最新記事及び返信フォームをトピックトップへ ]

■48948 / inTopicNo.1)

　数列について。

▼■

□投稿者/ コルム一般人(18回)-(2018/12/30(Sun) 16:37:57)

次の問題がわかりません。教えていただけると幸いです。

706×537 => 250×190

IMG_20181230_163723_909.JPG/63KB

引用返信/返信 [メール受信/OFF] 削除キー/

■48949 / inTopicNo.2)

　Re[1]: 数列について。

▲▼■

□投稿者/ muturajcp 一般人(27回)-(2018/12/31(Mon) 19:55:43)

数列{a(n)}を次のように定める.
(i)a(1)=0
(ii)n=2,3,4,…,に対し
a(n-1)≧nのとき,a(n)=a(n-1)-n
a(n-1)<nのとき,a(n)=a(n-1)+n
(1)
a(2)=2
2<3だから
a(3)=2+3=5
5>4だから
a(4)=5-4=1
1<5だから
a(5)=1+5=6
6≧6だから
a(6)=6-6=0
0<7だから
a(7)=0+7=7
∴
a(7)=7

(2)
a(k)=k
k+1>kだから
a(k+1)=k+k+1=2k+1
2k+1-(k+2)=k-1>0だから
a(k+2)=k-1
ある自然数j<kに対して
a(k+2j-1)=2k+j
a(k+2j)=k-j
と仮定すると
k+2j+1-(k-j)=3j+1>0だから
a(k+2j+1)=2k+j+1
2k+j+1-(k+2j+2)=k-j-1だから
a(k+2j+2)=k-j-1
j+1<kならば
全ての自然数j<kに対して
a(k+2j-1)=2k+j
a(k+2j)=k-j…(2.1)
が成り立つから
j=k-1とすると
a(3k-3)=3k-1
a(3k-2)=1
だから
3k-1>1だから
a(3k-1)=3k
3k≧3kだから
a(3k)=3k-3k=0
3k+1>0だから
a(3k+1)=3k+1…(2)
∴
m=3k+1

(3)
(1)から
a(7)=7
(2)a(3k+1)=3k+1から
a(22)=a(7*3+1)=22
a(67)=a(22*3+1)=67
a(202)=a(67*3+1)=202
a(607)=a(202*3+1)=607
a(1822)=a(607*3+1)=1822
(2.1)からa(k+2j)=k-jだから
a(2018)=a(1822+98*2)=1822-98=1724
∴
a(2018)=1724

引用返信/返信 [メール受信/OFF] 削除キー/

■48950 / inTopicNo.3)

　Re[1]: 数列について。

▲▼■

□投稿者/ コルム一般人(19回)-(2019/01/02(Wed) 19:58:15)

(2)をもう少し言葉を加えて、教えていただけると幸いです。

引用返信/返信 [メール受信/OFF] 削除キー/

■48951 / inTopicNo.4)

　Re[2]: 数列について。

▲▼■

□投稿者/ muturajcp 一般人(28回)-(2019/01/02(Wed) 20:55:32)

(2)
a(k)=k
の時
P(j)=[{a(k+2j-1)=2k+j}&{a(k+2j)=k-j}]or(j>k)
とする
n=k+1とするとn-1=kだから
a(n-1)=a(k)=k<k+1=nだから
(ii)a(n-1)<nのときだから
a(k+1)=a(n)=a(n-1)+n=a(k)+k+1=k+k+1=2k+1
a(k+1)=2k+1
n=k+2とするとn-1=k+1だから
a(n-1)-n=a(k+1)-(k+2)=2k+1-(k+2)=k-1>0だから
(ii)a(n-1)≧nのときだから
a(k+2)=a(n)=a(n-1)-n=k-1
a(k+2)=k-1
だから
P(1)=[{a(k+1)=2k+1}&{a(k+2)=k-1}]or(1>k)
P(1)=[{a(k+1)=2k+1}&{a(k+2)=k-1}]は真
ある自然数jに対して
P(j)=[{a(k+2j-1)=2k+j}&{a(k+2j)=k-j}]or(j>k)が真と仮定すると
j≧kの時
j+1>kだから
P(j+1)=[{a(k+2j+1)=2k+j+1}&{a(k+2j+2)=k-j-1}]or(j+1>k)
P(j+1)=(j+1>k)
も真

j<kの時
a(k+2j-1)=2k+j
a(k+2j)=k-j
だから
n=k+2j+1とするとn-1=k+2jだから
n-a(n-1)=k+2j+1-a(k+2j)=k+2j+1-(k-j)=3j+1>0だから
(ii)a(n-1)<nのときだから
a(k+2j+1)=a(n)=a(n-1)+n=a(k+2j)+k+2j+1=k-j+k+2j+1=2k+j+1
a(k+2j+1)=2k+j+1
n=k+2j+2とするとn-1=k+2j+1だから
a(n-1)-n=a(k+2j+1)-(k+2j+2)=2k+j+1-(k+2j+2)=k-j-1≧0だから
(ii)a(n-1)≧nのときだから
a(k+2j+2)=a(n)=a(n-1)-n=k-j-1
a(k+2j+2)=k-j-1
だから
P(j+1)=[{a(k+2j+1)=2k+j+1}&{a(k+2j+2)=k-j-1}]or(j+1>k)
P(j+1)=[{a(k+2j+1)=2k+j+1}&{a(k+2j+2)=k-j-1}]
も真
だから
全ての自然数jに対して
P(j)=[{a(k+2j-1)=2k+j}&{a(k+2j)=k-j}]or(j>k)が真
だから
j≦kに対して
a(k+2j-1)=2k+j
a(k+2j)=k-j…(2.1)
が成り立つ
P(k)=[{a(3k-1)=3k}&{a(3k)=0}]or(k>k)
P(k)=[{a(3k-1)=3k}&{a(3k)=0}]
が真だから
a(3k)=0
3k+1>0だから
a(3k+1)=3k+1…(2)
∴
m=3k+1

引用返信/返信 [メール受信/OFF] 削除キー/

■48954 / inTopicNo.5)

　Re[1]: 数列について。

▲▼■

□投稿者/ コルム一般人(20回)-(2019/01/03(Thu) 23:59:56)

j≦kにたいしてとかかれていますが、なぜ、j=kを含むのでしょうか？又、j=kの場合は、どうなるのでしょうか？教えていただけると幸いです。

引用返信/返信 [メール受信/OFF] 削除キー/

■48956 / inTopicNo.6)

　Re[2]: 数列について。

▲▼■

□投稿者/ muturajcp 一般人(29回)-(2019/01/04(Fri) 10:44:06)

j=k-1に対して
a(k+2j-1)=2k+j
a(k+2j)=k-j
が成り立つから
j=kに対しても
a(k+2j-1)=2k+j
a(k+2j)=k-j
が成り立つ

引用返信/返信 [メール受信/OFF] 削除キー/

■48957 / inTopicNo.7)

　Re[2]: 数列について。

▲▼■

□投稿者/ muturajcp 一般人(30回)-(2019/01/04(Fri) 14:56:51)

(2)
a(k)=k
P(j)={jが奇数の時a(k+j)=2k+(j+1)/2}&{jが偶数の時a(k+j)=k-(j/2)}
とする
P(0)={0が偶数の時a(k)=k}]は真
ある自然数j≦2k+1に対して
n=k+j
P(j-1)が真と仮定すると

jが奇数ならば
j-1は偶数だから
P(j-1)={j-1が偶数の時a(k+j-1)=k-(j-1)/2}が真だから
a(n-1)=a(k+j-1)=k-(j-1)/2
n-a(n-1)=k+j-{k-(j-1)/2}=j+(j-1)/2>0
(ii)a(n-1)<nの時だから
a(k+j)=a(n)=a(n-1)+n=k-(j-1)/2+k+j=2k+(j+1)/2
だから
P(j)={jが奇数の時a(k+j)=2k+(j+1)/2}も真

jが偶数ならば
j-1は奇数だから
P(j-1)={j-1が奇数の時a(k+j-1)=2k+(j/2)}が真だから
a(n-1)=a(k+j-1)=2k+(j/2)
(j≦2k+1)&(jは偶数)だからj≦2kだから
a(n-1)-n=2k+(j/2)-(k+j)=k-(j/2)≧0
(ii)a(n-1)≧nの時だから
a(k+j)=a(n)=a(n-1)-n=k-(j/2)
だから
P(j)={jが偶数の時a(k+j)=k-(j/2)}も真

だから

全ての自然数j≦2k+1に対して
P(j)={jが奇数の時a(k+j)=2k+(j+1)/2}&{jが偶数の時a(k+j)=k-(j/2)}
だから
j=2k+1の時
P(2k+1)={2k+1が奇数の時a(3k+1)=3k+1}
が真だから
a(3k+1)=3k+1
∴
m=3k+1

引用返信/返信 [メール受信/OFF] 削除キー/

■48958 / inTopicNo.8)

　Re[3]: 数列について。

▲▼■

□投稿者/ コルム一般人(21回)-(2019/01/05(Sat) 17:43:19)

もう少し言葉を加えて教えていただけると幸いです。

引用返信/返信 [メール受信/OFF] 削除キー/

■48961 / inTopicNo.9)

　Re[4]: 数列について。

▲▼■

□投稿者/ muturajcp 一般人(32回)-(2019/01/06(Sun) 19:55:34)

(2)
a(k)=k
とする

ある自然数j≦2k+1に対して

j-1が偶数の時a(k+j-1)=k-(j-1)/2
j-1が奇数の時a(k+j-1)=2k+j/2
と仮定すると

j-1が偶数の時
a(k+j-1)<k+jだからa(k+j)=a(k+j-1)+k+j=2k+(j+1)/2

j-1が奇数の時
a(k+j-1)≧k+jだからa(k+j)=a(k+j-1)-(k+j)=k-(j/2)

jが奇数の時a(k+j)=2k+(j+1)/2
jが偶数の時a(k+j)=k-(j/2)
が成り立つから

帰納法により
全ての自然数j≦2k+1に対して
jが奇数の時a(k+j)=2k+(j+1)/2
jが偶数の時a(k+j)=k-(j/2)
が成り立つから

j=2k+1の時jが奇数だからa(3k+1)=3k+1
が成り立つから
a(3k+1)=3k+1
∴
m=3k+1

引用返信/返信 [メール受信/OFF] 削除キー/

■48962 / inTopicNo.10)

　Re[5]: 数列について。

▲▼■

□投稿者/ コルム一般人(23回)-(2019/01/06(Sun) 20:41:37)

なぜ、ある自然数j≦2k＋1なのでしょうか？教えていただけると幸いです。

引用返信/返信 [メール受信/OFF] 削除キー/

■48965 / inTopicNo.11)

　Re[6]: 数列について。

▲▼■

□投稿者/ muturajcp 一般人(34回)-(2019/01/06(Sun) 21:53:51)

a(k)=k
だから

j=1の時
j-1=0は偶数だからa(k)=a(k+1-1)=k-(1-1)/2=kが成り立つから

j-1が偶数の時a(k+j-1)=k-(j-1)/2
j-1が奇数の時a(k+j-1)=2k+j/2
が成り立つので

ある自然数jとは
最初は
j=1の事をいうのである自然数というのです

j≦2k+1
としたのは

j=2k+1
の時
jが奇数だからa(k+j)=2k+(j+1)/2が成り立ち
a(k+j)=a(3k+1)=2k+(2k+2)/2=3k+1
という結論をいうために
j≦2k+1
としたのと
j>2k+1の時は
a(k+j-1)≧k+jが成り立たないので
j≦2k+1
したのです

引用返信/返信 [メール受信/OFF] 削除キー/

■48966 / inTopicNo.12)

　Re[7]: 数列について。

▲▼■

□投稿者/ コルム一般人(25回)-(2019/01/06(Sun) 23:36:52)

j=1の時、、、、成り立つからのところがわかりません。教えていただけると幸いです。すみません。何度も。式変形のところがわかりません。

引用返信/返信 [メール受信/OFF] 削除キー/

■48967 / inTopicNo.13)

　Re[8]: 数列について。

▲▼■

□投稿者/ muturajcp 一般人(35回)-(2019/01/07(Mon) 05:31:57)

a(k)=k…(1)
の時
全ての自然数j≦2k+1に対して
j-1が偶数の時a(k+j-1)=k-(j-1)/2…(2)
j-1が奇数の時a(k+j-1)=2k+(j/2)
が成り立つことを帰納法で示す

j=1の時
j-1=0は偶数だから
(2)のjに1を代入すると
1-1が偶数の時a(k+1-1)=k-(1-1)/2
が成り立つ事を示せばよい
a(k+1-1)=a(k)
k-(1-1)/2=k
だから
a(k)=k
が成り立つ事を示せばよい
(1)から
a(k)=k
だから
j=1に対して
j-1が偶数の時a(k+j-1)=k-(j-1)/2
j-1が奇数の時a(k+j-1)=2k+(j/2)
が成り立つ

ある自然数jに対して
j-1が偶数の時a(k+j-1)=k-(j-1)/2
j-1が奇数の時a(k+j-1)=2k+j/2
が成り立つと仮定すると

j-1が偶数の時
a(k+j-1)<k+jだからa(k+j)=a(k+j-1)+k+j=2k+(j+1)/2

j-1が奇数の時
jが偶数でj≦2k+1だからj≦2kだからk-j/2≧0だから
a(k+j-1)≧k+jだからa(k+j)=a(k+j-1)-(k+j)=k-(j/2)

jが奇数の時a(k+j)=2k+(j+1)/2
jが偶数の時a(k+j)=k-(j/2)
が成り立つ
から

帰納法により
全ての自然数j≦2k+1に対して
jが奇数の時a(k+j)=2k+(j+1)/2
jが偶数の時a(k+j)=k-(j/2)
が成り立つから

j=2k+1の時jが奇数だからa(3k+1)=3k+1
が成り立つから
a(3k+1)=3k+1
∴
m=3k+1

引用返信/返信 [メール受信/OFF] 削除キー/

■48971 / inTopicNo.14)

　Re[1]: 数列について。

▲▼■

□投稿者/ コルム一般人(26回)-(2019/01/08(Tue) 19:19:45)

j-1が偶数の時a(k+j-1)=k-(j-1)/2…(2)
j-1が奇数の時a(k+j-1)=2k+(j/2)
なぜ、このような等式が立てられるのでしょうか？
教えていただけると幸いです。

引用返信/返信 [メール受信/OFF] 削除キー/

■48972 / inTopicNo.15)

　Re[2]: 数列について。

▲▼■

□投稿者/ muturajcp 一般人(36回)-(2019/01/09(Wed) 20:51:04)

(1)の結果
a(2)=2
a(3)=5
a(4)=1
a(5)=6
a(6)=0
a(7)=7
から
j-1が偶数の時a(k+j-1)=k-(j-1)/2
j-1が奇数の時a(k+j-1)=2k+j/2
が推定できる