 | 空間内の3点A(0,-1,2),B(-3,-2,4),C(1,1,3)を通る平面をαとする.
(1)
↑AB=(-3,-2,4)-(0,-1,2)=(-3-0,-2+1,4-2)=(-3,-1,2)
↑AC=(1,1,3)-(0,-1,2)=(1-0,1+1,3-2)=(1,2,1)
(↑AB・↑AC)=((-3,-1,2)・(1,2,1))=-3-2+2=-3
|AB|^2=(-3)^2+1+2^2=9+1+4=14
|AC|^2=1^2+2^2+1^2=6
|△ABC|
=(1/2)|AB||AC|sin∠BAC
=(1/2)|AB||AC|√{1-(cos∠BAC)^2}
=(1/2)√[(|AB||AC|)^2{1-(cos∠BAC)^2}]
=(1/2)√{|AB|^2|AC|^2-(|AB||AC|cos∠BAC)^2}
=(1/2)√{|AB|^2|AC|^2-(↑AB・↑AC)^2}
=(1/2)√{14*6-(-3)^2}
=(1/2)√(84-9)
=(1/2)√75
={√(5*5*3)}/2
=(5√3)/2
(2)原点Oから平面αに垂線を下ろし,
αとの交点をHとする.
↑AB×↑AC
=
(|-1,2|,|2,-3|,|-3,-1|)
(|2.,1|,|1.,1|,|1.,2.|)
=
(-5,5,-5)
=
-5(1,-1,1)
x-(y+1)+z-2=0
x-y+z-3=0
(x,y,z)=(x,-x,x)
y=-x
z=x
x+x+x-3=0
x=1
y=-1
z=1
∴
H=(1,-1,1)
(3)
直線AHと直線BCの交点をDとすると
Dは直線AH上の点だから
↑OD=(1-s)↑OA+s↑OH
となる実数sがある.
A=(0,-1,2),H=(1,-1,1)だから
↑OD=(1-s)(0,-1,2)+s(1,-1,1)=(s,-1,2-s)
Dは直線BC上の点だから
↑OD=(1-t)↑OB+t↑OC
となる実数tがある.
B=(-3,-2,4),C=(1,1,3)だから
↑OD=(1-t)(-3,-2,4)+t(1,1,3)=(4t-3,3t-2,4-t)
(s,-1,2-s)=↑OD=(4t-3,3t-2,4-t)
だから
s=4t-3
-1=3t-2
2-s=4-t
だから
1=3t
t=1/3
s=4/3-3=-5/3
だから
↑OD=(8/3)↑OA-(5/3)↑OH
3↑OD=8↑OA-5↑OH
3↑OD-8↑OA+5↑OH=0
3↑OD-3↑OA-5↑OA+5↑OH=0
3↑AD+5↑AH=0
5↑AH=-3↑AD
5|AH|=3|AD|
|AH|/|AD|=3/5
∴
|AH|:|AD|=3:5
|
