| kを正の定数とする. xy平面において放物線y=x^2と直線y=x+kで 囲まれた領域に含まれる円の最大の半径をrとする 円は直線y=x+kと1点で接する 円は放物線と1点以上で接する 接点以外の交点を持たない A=(1/2,1/4)とする (x,y)=Aの時,放物線の接線の傾きはy'=2x=1となる 接線は直線y=x+kの傾き1と同じ平行になる 法線は y=-x+(3/4) となる 法線と直線y=x+kの交点をB=(x,y)とすると B=((3-4k)/8,(3+4k)/8) |AB|/2={(4k+1)√2}/16 となる ABの中点をC(x,y)とすると C=((7-4k)/16,(4k+5)/16) だから中心C半径|CA|の円の方程式は {x-(7-4k)/16}^2+{y-(4k+5)/16}^2=(4k+1)^2/128 (16x+4k-7)^2+(16y-4k-5)^2=2(4k+1)^2 32x^2+4(4k-7)x+32y^2-4(4k+5)y-4k+9=0 放物線との交点を(x,x^2)してy=x^2を代入すると (2x-1)^2{8(x+1/2)^2+7-4k}=0 0<k≦7/4の時 円と放物線の交点は接点Aだけとなるから 最大半径は r={(4k+1)√2}/16
k>7/4の時は 円と放物線は2点で接して中心はy軸上にある x座標が正の方の接点をA=(a,a^2)とすると 法線は y={-1/(2a)}x+a^2+(1/2) だから 中心Cは C=(0,a^2+(1/2)) |CA|=√{a^2+(1/4)} Cから直線y=x+kへの垂線 y=-x+a^2+(1/2) とy=x+kの交点をB=(x,y)とすると B=(a^2/2-k/2+1/4,a^2/2+k/2+1/4) |BC|=|CA|だから (k/2-a^2/2-1/4)√2=√(a^2+1/4) (2a^2+1-2k)^2=8a^2+2 (2a^2-2k-1)^2=8k+2 a^2=[2k+1-√{2(4k+1)}]/2 |BC|=[{√(4k+1)}-√2]/2
0<k≦7/4の時 r={(4k+1)√2}/16
k>7/4の時は r=[{√(4k+1)}-√2]/2
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