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■48850 / inTopicNo.1)  極限
  
□投稿者/ 三角関数 一般人(1回)-(2018/10/01(Mon) 09:52:00)
    x,y,zは0≦x,y,z<2πをみたす実数で、さらに
    数列{cosnx+cosny+cosnz}と{sinnx+sinny+sinnz}が
    n→∞でどちらも収束するという。x,y,zを求めよ。

    教えて下さい。
    お願いします。
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■48873 / inTopicNo.2)  Re[1]: 極限
□投稿者/ muturajcp 一般人(3回)-(2018/10/26(Fri) 20:02:05)
    x=y=z=0
    とすると
    cosnx+cosny+cosnz=3
    sinnx+sinny+sinnz=0
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■48878 / inTopicNo.3)  Re[2]: 極限
□投稿者/ 三角関数 一般人(2回)-(2018/10/30(Tue) 09:24:52)
    どういうことでしょうか?
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■48880 / inTopicNo.4)  Re[3]: 極限
□投稿者/ muturajcp 一般人(7回)-(2018/10/30(Tue) 21:11:25)
    x=0
    y=0
    z=0
    とすると
    lim_{n→∞}cos(nx)+cos(ny)+cos(nz)=cos(0)+cos(0)+cos(0)=1+1+1=3
    cosnx+cosny+cosnzは3に収束する
    lim_{n→∞}sin(nx)+sin(ny)+sin(nz)=sin(0)+sin(0)+sin(0)=0+0+0=0
    sinnx+sinny+sinnzは0に収束する

    x=0
    y=0
    z=0


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■48882 / inTopicNo.5)  Re[4]: 極限
□投稿者/ 三角関数 一般人(3回)-(2018/11/01(Thu) 10:23:32)
    cos(nx)+cos(ny)+cos(nz)、
    sin(nx)+sin(ny)+sin(nz)
    が収束するならば、
    x=y=z=0である

    ことを示していただけませんか?
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■48883 / inTopicNo.6)  Re[1]: 極限
□投稿者/ らすかる 一般人(31回)-(2018/11/01(Thu) 18:15:09)
    x,y,zがどんな値であっても、
    nを適当に定めればcos(nx)+cos(ny)+cos(nz)を
    いくらでも3に近くすることができるから、
    cos(nx)+cos(ny)+cos(nz)はnによらず3でなければならない。
    よってx=y=z=0。

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■48887 / inTopicNo.7)  Re[1]: 極限
□投稿者/ muturajcp 一般人(13回)-(2018/11/10(Sat) 20:36:41)
    x/(2π),y/(2π),z/(2π)が有理数の時
    0≦x/(2π)<1
    0≦y/(2π)<1
    0≦z/(2π)<1

    Q=(全有理数)
    Z=(全整数)
    N=(全自然数)
    f(n)=cos(nx)+cos(ny)+cos(nz)
    lim_{n→∞}f(n)=α
    {x/(2π),y/(2π),z/(2π)}⊂Q
    とすると
    x/(2π)=u/a
    y/(2π)=v/b
    z/(2π)=w/c
    {a,b,c}⊂N
    {u,v,w}⊂Z
    となるa,b,c,u,v,wがある
    ax=2uπ
    by=2vπ
    cz=2wπ
    だから
    n∈Nに対して
    k(n)=abcn
    とすると
    lim_{n→∞}f(k(n))
    =lim_{n→∞}cos(k(n)x)+cos(k(n)y)+cos(k(n)z)
    =lim_{n→∞}cos(abcnx)+cos(abcny)+cos(abcnz)
    =lim_{n→∞}cos(2bcnuπ)+cos(2acnvπ)+cos(2abnwπ)
    =3
    {f(k(n))}は{f(n)}の部分列だから
    部分列{f(k(n))}が3に収束するのだから
    {f(n)}も3に収束しなければならないから
    α=3
    lim_{n→∞}cos(nx)+cos(ny)+cos(nz)=3

    n∈Nに対して
    m(n)=abcn+1
    とすると
    lim_{n→∞}f(m(n))
    =lim_{n→∞}cos(m(n)x)+cos(m(n)y)+cos(m(n)z)
    =lim_{n→∞}cos((abcn+1)x)+cos((abcn+1)y)+cos((abcn+1)z)
    =lim_{n→∞}cos(2bcnuπ+x)+cos(2acnvπ+y)+cos(2abnwπ+z)
    =cos(x)+cos(y)+cos(z)
    ↓{f(m(n))}は{f(n)}の部分列だから
    ↓{f(n))}が3に収束するのだから
    ↓{f(m(n))}も3に収束しなければならないから
    =3

    cos(x)+cos(y)+cos(z)=3
    ↓cos(x)≦1,cos(y)≦1,cos(z)≦1だから
    cos(x)=1,cos(y)=1,cos(z)=1
    ↓0≦x<2π,0≦y<2π,0≦z<2πだから
    x=y=z=0
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