| x/(2π),y/(2π),z/(2π)が有理数の時 0≦x/(2π)<1 0≦y/(2π)<1 0≦z/(2π)<1 ↓ Q=(全有理数) Z=(全整数) N=(全自然数) f(n)=cos(nx)+cos(ny)+cos(nz) lim_{n→∞}f(n)=α {x/(2π),y/(2π),z/(2π)}⊂Q とすると x/(2π)=u/a y/(2π)=v/b z/(2π)=w/c {a,b,c}⊂N {u,v,w}⊂Z となるa,b,c,u,v,wがある ax=2uπ by=2vπ cz=2wπ だから n∈Nに対して k(n)=abcn とすると lim_{n→∞}f(k(n)) =lim_{n→∞}cos(k(n)x)+cos(k(n)y)+cos(k(n)z) =lim_{n→∞}cos(abcnx)+cos(abcny)+cos(abcnz) =lim_{n→∞}cos(2bcnuπ)+cos(2acnvπ)+cos(2abnwπ) =3 {f(k(n))}は{f(n)}の部分列だから 部分列{f(k(n))}が3に収束するのだから {f(n)}も3に収束しなければならないから α=3 lim_{n→∞}cos(nx)+cos(ny)+cos(nz)=3
n∈Nに対して m(n)=abcn+1 とすると lim_{n→∞}f(m(n)) =lim_{n→∞}cos(m(n)x)+cos(m(n)y)+cos(m(n)z) =lim_{n→∞}cos((abcn+1)x)+cos((abcn+1)y)+cos((abcn+1)z) =lim_{n→∞}cos(2bcnuπ+x)+cos(2acnvπ+y)+cos(2abnwπ+z) =cos(x)+cos(y)+cos(z) ↓{f(m(n))}は{f(n)}の部分列だから ↓{f(n))}が3に収束するのだから ↓{f(m(n))}も3に収束しなければならないから =3 ∴ cos(x)+cos(y)+cos(z)=3 ↓cos(x)≦1,cos(y)≦1,cos(z)≦1だから cos(x)=1,cos(y)=1,cos(z)=1 ↓0≦x<2π,0≦y<2π,0≦z<2πだから x=y=z=0
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